Bank Soal Matematika SMA Tafsiran Geometri dari Kedudukan Vektor

Diketahui:

$\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}\Leftrightarrow\ \overrightarrow{a}=\left(2,\ 2,\ 1\right)$

$\overrightarrow{b}=m\overrightarrow{x}+4\overrightarrow{y}+n\overrightarrow{z}\Leftrightarrow\ \overrightarrow{b}=\left(m,\ 4,\ n\right)$

$\overrightarrow{c}=4\overrightarrow{x}-2\overrightarrow{y}+7\overrightarrow{z}\Leftrightarrow\ \overrightarrow{c}=\left(4,\ -2,\ 7\right)$

$A,\ B,\ C$ segaris (kolinear)

Ditanya:

$m=?$

$n=?$

Jawab:

Jika tiga buah titik $A,\ B,$ dan $C$ segaris (kolinear), maka vektor yang dibentuk oleh dua dari tiga titik tersebut akan saling berkelipatan atau memiliki perbandingan.

$\overrightarrow{AB}=k\ \cdot\ \overrightarrow{BC}$

Dari koordinat titik yang diberikan, diperoleh:

$\overrightarrow{AB}=B-A=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AB}=\left(m,\ 4,\ n\right)-\left(2,\ 2,\ 1\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AB}=\left(\left(m-2\right),\ \left(4-2\right),\ \left(n-1\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AB}=\left(\left(m-2\right),\ 2,\ \left(n-1\right)\right)$

$\overrightarrow{BC}=C-B=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{BC}=\left(4,\ -2,\ 7\right)-\left(m,\ 4,\ n\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{BC}=\left(\left(4-m\right),\ \left(-2-4\right),\ \left(7-n\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{BC}=\left(\left(4-m\right),\ -6,\ \left(7-n\right)\right)$

Dengan demikian,

$\overrightarrow{AB}=k\cdot\overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow\ \left(\left(m-2\right),\ 2,\ \left(n-1\right)\right)=k\cdot\left(\left(4-m\right),\ -6,\ \left(7-n\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \left(\left(m-2\right),\ 2,\ \left(n-1\right)\right)=\left(\left(4-m\right)k,\ -6k,\ \left(7-n\right)k\right)$

Perhatikan suku-suku yang bersesuaian sehingga diperoleh

$2=-6k\ \Leftrightarrow\ k=-\frac{2}{6}\Leftrightarrow k=-\frac{1}{3}$

Substitusi $k=-\frac{1}{3}$ sehingga

$\Leftrightarrow\ \left(\left(m-2\right),\ 2,\ \left(n-1\right)\right)=\left(\left(4-m\right)\left(-\frac{1}{3}\right),\ -6\left(-\frac{1}{3}\right),\ \left(7-n\right)\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \left(\left(m-2\right),\ 2,\ \left(n-1\right)\right)=\left(\left(4-m\right)\left(-\frac{1}{3}\right),\ 2,\ \left(7-n\right)\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$ maka

$m-2=\left(4-m\right)\left(-\frac{1}{3}\right)$

$\Leftrightarrow\ m-2=-\frac{4}{3}+\frac{1}{3}m$

$\Leftrightarrow\ m-\frac{1}{3}m=-\frac{4}{3}+2$

$\Leftrightarrow\frac{2}{3}m=\frac{-4+6}{3}$

$\Leftrightarrow\frac{2}{3}m=\frac{2}{3}$

$\Leftrightarrow m=1$

$n-1=\left(7-n\right)\left(-\frac{1}{3}\right)$

$\Leftrightarrow\ n-1=-\frac{7}{3}+\frac{1}{3}n$

$\Leftrightarrow\ n-\frac{1}{3}n=-\frac{7}{3}+1$

$\Leftrightarrow\ \frac{2}{3}n=\frac{-7+3}{3}$

$\Leftrightarrow\ 2n=-7+3$

$\Leftrightarrow\ 2n=-4$

$\Leftrightarrow\ n=-2$

Jadi, nilai $m$ dan $n$ berturut-turut adalah 1 dan -2.