Bank Soal Matematika SMA Tafsiran Geometri dari Kedudukan Vektor

Soal

Pilgan

Lihat Pembahasan

Diketahui $A\left(-5,\ -1,\ -8\right)$ , $B\left(-1,\ 1,\ -2\right)$ , dan $C\left(1,\ 2,\ 1\right)$ . Jika $A,\ B,$ dan $C$ segaris (kolinear), maka $\overrightarrow{AB}:\overrightarrow{BC}$ adalah ....

A

$1\ :\ 2$

B

$2\ :\ 1$

C

$1\ :\ 3$

D

$3\ :\ 1$

E

$2\ :\ 3$

Pembahasan:

Diketahui:

$A\left(-5,\ -1,\ -8\right)$

$B\left(-1,\ 1,\ -2\right)$

$C\left(1,\ 2,\ 1\right)$

$A,\ B,\ C$ segaris (kolinear)

Ditanya:

$\overrightarrow{AB}:\overrightarrow{BC}=?$

Jawab:

Jika tiga buah titik $A,\ B,$ dan $C$ segaris (kolinear), maka vektor yang dibentuk oleh dua dari tiga titik tersebut akan saling berkelipatan atau memiliki perbandingan.

Dari koordinat titik yang diberikan, diperoleh:

$\overrightarrow{AB}=B-A$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AB}=\left(-1,\ 1,\ -2\right)-\left(-5,\ -1,\ -8\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AB}=\left(\left(-1-\left(-5\right)\right),\ \left(1-\left(-1\right)\right),\ \left(-2-\left(-8\right)\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AB}=\left(\left(-1+5\right),\ \left(1+1\right),\ \left(-2+8\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{AB}=\left(4,\ 2,\ 6\right)$

$\overrightarrow{BC}=C-B$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{BC}=\left(1,\ 2,\ 1\right)-\left(-1,\ 1,\ -2\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{BC}=\left(\left(1-\left(-1\right)\right),\ \left(2-1\right),\ \left(1-\left(-2\right)\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{BC}=\left(\left(1+1\right),\ \left(2-1\right),\ \left(1+2\right)\right)$

$\Leftrightarrow\ \overrightarrow{BC}=\left(2,\ 1,\ 3\right)$

Dengan demikian,

$\frac{\ \overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{BC}}=\frac{\left(4,\ 2,\ 6\right)}{\left(2,\ 1,\ 3\right)}$

$\Leftrightarrow\ \frac{\ \overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{BC}}=\frac{2\left(2,\ 1,\ 3\right)}{\left(2,\ 1,\ 3\right)}$

$\Leftrightarrow\ \frac{\ \overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{BC}}=\frac{2}{1}$

sehingga diperoleh $\ \overrightarrow{AB}:\overrightarrow{BC}=2:1.$ .

Jadi, $\ \overrightarrow{AB}:\overrightarrow{BC}=2:1.$

K13 Kelas X Matematika Geometri Vektor Ruang Dimensi Dua dan Tiga Tafsiran Geometri dari Kedudukan Vektor Skor 2
Matematika Peminatan LOTS Teknik Hitung