Bank Soal Matematika SMA Akar-Akar Suku Banyak

Soal

Pilgan

Diketahui suku banyak x46x3+mx2+nx72x^4-6x^3+mx^2+nx-72 memiliki akar-akar x1, x2, x3,x_1,\ x_2,\ x_3, dan x4.x_4. Jika pasangan dua akar pertama saling berlawanan dan akar yang ketiga adalah dua kali akar keempat, maka nilai m+nm+n adalah ....

A

50

B

51

C

52

D

53

E

54

Pembahasan:

Diketahui:

x46x3+mx2+nx72x^4-6x^3+mx^2+nx-72

Dua akar pertama saling berlawanan: x1=x2 x1+x2=0x_1=-x_2\Leftrightarrow\ x_1+x_2=0

Akar ketiga adalah tiga kali akar keempat: x3=2x4x_3=2x_4

Ditanya:

m+n=?m+n=?

Jawab:

Teorema akar-akar suku banyak.

Jika diketahui suatu suku banyak ax4+bx3+cx2+dx+eax^4+bx^3+cx^2+dx+e, maka

x1+x2+x3+x4=bax_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{b}{a}

x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=cax_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=\frac{c}{a}

x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=dax_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-\frac{d}{a}

x1x2x3x4=eax_1x_2x_3x_4=\frac{e}{a}

Diketahui suku banyak x46x3+mx2+nx72x^4-6x^3+mx^2+nx-72 , maka

a=1a=1

b=6b=-6

c=mc=m

d=nd=n

e=72e=-72

Diketahui x1+x2=0x_1+x_2=0 dan x3=2x4x_3=2x_4, maka

x1+x2+x3+x4=bax_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{b}{a}

 0+2x4+x4=(6)1\Leftrightarrow\ 0+2x_4+x_4=-\frac{\left(-6\right)}{1}

 3x4=6\Leftrightarrow\ 3x_4=6

 x4=2\Leftrightarrow\ x_4=2

Sehingga diperoleh

x3=2x4  x3=4x_3=2x_4\ \Leftrightarrow\ x_3=4

Kita dapat menentukan nilai mm dan nn dengan menggunakan akar-akar yang sudah diketahui.

Jika f(x)=x46x3+mx2+nx72f\left(x\right)=x^4-6x^3+mx^2+nx-72 adalah suatu suku banyak dan  x3=4\ x_3=4 adalah akar dari f(x)f\left(x\right), maka  f(4)=0\ f\left(4\right)=0 sehingga

 f(4)=0\ f\left(4\right)=0

 (4)46(4)3+m(4)2+n(4)72=0\Leftrightarrow\ \left(4\right)^4-6\left(4\right)^3+m\left(4\right)^2+n\left(4\right)-72=0

 2566(64)+m(16)+4n72=0\Leftrightarrow\ 256-6\left(64\right)+m\left(16\right)+4n-72=0

 256384+16m+4n72=0\Leftrightarrow\ 256-384+16m+4n-72=0

 200+16m+4n=0\Leftrightarrow\ -200+16m+4n=0

 16m+4n=200\Leftrightarrow\ 16m+4n=200

 4m+n=50\Leftrightarrow\ 4m+n=50 ...(1)

Jika x4=2x_4=2 adalah akar dari f(x)f\left(x\right), maka f(2)=0f\left(2\right)=0 sehingga

f(2)=0f\left(2\right)=0

 (2)46(2)3+m(2)2+n(2)72=0\Leftrightarrow\ \left(2\right)^4-6\left(2\right)^3+m\left(2\right)^2+n\left(2\right)-72=0

 166(8)+m(4)+2n72=0\Leftrightarrow\ 16-6\left(8\right)+m\left(4\right)+2n-72=0

 1648+4m+2n72=0\Leftrightarrow\ 16-48+4m+2n-72=0

 104+4m+2n=0\Leftrightarrow\ -104+4m+2n=0

 4m+2n=104\Leftrightarrow\ 4m+2n=104

 2m+n=52\Leftrightarrow\ 2m+n=52 ...(2)

Eliminasikan persamaan (1) dan (2)

Substitusikan m=1m=-1 ke salah satu persamaan

2m+n=522m+n=52

 2(1)+n=52\Leftrightarrow\ 2\left(-1\right)+n=52

 2+n=52\Leftrightarrow\ -2+n=52

 n=52+2\Leftrightarrow\ n=52+2

 n=54\Leftrightarrow\ n=54

Maka,

m+n=(1)+54m+n=\left(-1\right)+54

 m+n=53\Leftrightarrow\ m+n=53

Jadi, nilai m+nm+n adalah 53.

K13 Kelas XI Matematika Aljabar Faktorisasi Polinom Akar-Akar Suku Banyak Skor 3
Matematika Peminatan Teknik Hitung LOTS
Video
10 April 2022
Akar-Akar Suku Banyak | Matematika Peminatan | Kelas XI
Rangkuman
08 April 2020
Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal