Bank Soal Matematika SMA Limit Fungsi Trigonometri

Soal

Pilgan

Lihat Pembahasan

Nilai $\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin4x\cdot\tan6x}{1-\cos5x}=....$

A

$\frac{20}{40}$

B

$\frac{24}{50}$

C

$\frac{24}{25}$

D

$\frac{48}{50}\$

E

$\frac{48}{25}$

Pembahasan:

Subtitusi langsung $x=0$ menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ .

sehingga perlu dilakukan manipulasi bentuk dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.

$\cos ax=1-2\sin^2\ \frac{a}{2}x$

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin ax}{\sin bx}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\tan ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}$

Dengan demikian, diperoleh

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin4x\cdot\tan6x}{1-\cos5x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin4x\cdot\tan6x}{1-\left(1-2\sin^2\ \frac{5}{2}x\right)}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \frac{\sin4x\cdot\tan6x}{2\sin\ \frac{5}{2}x\cdot\sin\ \frac{5}{2}x}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\lim\limits_{x\rightarrow0}\ \left(\frac{1}{2}\frac{\sin4x}{\sin\ \frac{5}{2}x}\cdot\frac{\tan6x}{\sin\ \frac{5}{2}x}\right)$