Bank Soal Matematika SMA Teorima Sisa dan Teorema Faktor

Diketahui:

$\left(2x^2+9x+10\right)$ faktor dari $\left(2x^4+11x^3+ax^2+37x+b\right)$

Ditanya:

$a+b=?$

Jawab:

Misalkan $f\left(x\right)$ adalah suatu suku banyak dengan $\left(x-a\right)$ adalah salah satu faktornya dan $x=a$ adalah salah satu akarnya, jika dan hanya jika $f\left(a\right)=0$.

Misalkan $f\left(x\right)$ adalah suatu suku banyak dengan $\left(ax-b\right)$ adalah salah satu faktornya dan $x=\frac{b}{a}$ adalah salah satu akarnya, jika dan hanya jika $f\left(\frac{b}{a}\right)=0.$

Faktor dari $f\left(x\right)=2x^4+11x^3+ax^2+37x+b$ adalah $\left(2x^2+9x+10\right)$ yang dapat difaktorkan menjadi $\left(2x+5\right)\left(x+2\right)$ , maka $x=-\frac{5}{2}$ dan $x=-2$ merupakan akar-akar dari $f\left(x\right)$, sehingga:

Untuk $x=-\frac{5}{2}$

$f\left(-\frac{5}{2}\right)=0$

$\Leftrightarrow\ 2\left(-\frac{5}{2}\right)^4+11\left(-\frac{5}{2}\right)^3+a\left(-\frac{5}{2}\right)^2+37\left(-\frac{5}{2}\right)+b=0$

$\Leftrightarrow\ 2\left(\frac{625}{16}\right)+11\left(-\frac{125}{8}\right)+a\left(\frac{25}{4}\right)+37\left(-\frac{5}{2}\right)+b=0$

$\Leftrightarrow\ \frac{625}{8}-\frac{1.375}{8}+\frac{25}{4}a-\frac{185}{2}+b=0$

$\Leftrightarrow\ -\frac{750}{8}+\frac{25}{4}a-\frac{185}{2}+b=0$

$\Leftrightarrow\ -\frac{375}{4}-\frac{370}{4}+\frac{25}{4}a+b=0$

$\Leftrightarrow\ -\frac{745}{4}+\frac{25}{4}a+\frac{4}{4}b=0$

$\Leftrightarrow\ -745+25a+4b=0$

$\Leftrightarrow\ 25a+4b=745$ ...(1)

Untuk $x=-2$

$f\left(-2\right)=0$

$\Leftrightarrow\ 2\left(-2\right)^4+11\left(-2\right)^3+a\left(-2\right)^2+37\left(-2\right)+b=0$

$\Leftrightarrow\ 2\left(16\right)+11\left(-8\right)+a\left(4\right)+37\left(-2\right)+b=0$

$\Leftrightarrow\ 32-88+4a-74+b=0$

$\Leftrightarrow\ -130+4a+b=0$

$\Leftrightarrow\ 4a+b=130$ ...(2)

Lakukan eliminasi pada persamaan (1) dan (2)

Substitusi $a=25$ ke salah satu persamaan

$4a+b=130$

$\Leftrightarrow\ 4\left(25\right)+b=130$

$\Leftrightarrow\ 100+b=130$

$\Leftrightarrow\ b=130-100$

$\Leftrightarrow\ b=30$

Nilai $a+b$

$a+b=25+30$

$a+b=55$

Jadi, nilai $a+b$ adalah 55.