Bank Soal Matematika SMA Integral Substitusi

Diketahui:

$\int18\sqrt{2-3x}dx=2a(2-3x)\sqrt{2-3x}+C$

Ditanya:

Nilai $a=?$

Jawab:

Misalkan:

$u=2-3x$

$\Leftrightarrow du=-3dx$

$\Leftrightarrow dx=-\frac{du}{3}$

Sehingga menjadi:

$\int18\sqrt{2-3x}dx$

$=\int18\sqrt{u}(-\frac{du}{3})$; ingat bahwa $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

$=\int18u^{\frac{1}{2}}(-\frac{du}{3})$

$=\int-6u^{\frac{1}{2}}du$

Untuk $f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1$ maka:

$\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$

Sehingga didapatkan:

$\int18\sqrt{2-3x}dx$

$=\int-6u^{\frac{1}{2}}du$

$=-\frac{6}{(\frac{1}{2}+1)}u^{(\frac{1}{2}+1)}+C$

$=-\frac{6}{\frac{3}{2}}u^{\frac{3}{2}}+C$

$=-4u^{\frac{3}{2}}+C$

pangkat pecahan biasa dari $u^{\frac{3}{2}}$ diubah dalam pangkat pecahan campuran menjadi $u^{\frac{3}{2}}=u^{1\frac{1}{2}}=u^1u^{\frac{1}{2}}$ sehingga:

$=-4u^1u^{\frac{1}{2}}+C$; ingat bahwa $x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$

$=-4u\sqrt{u}+C$

$=-4(2-3x)\sqrt{2-3x}+C$

DIketahui bahwa:

$\int18\sqrt{2-3x}dx=2a(2-3x)\sqrt{2-3x}+C$

$-4(2-3x)\sqrt{2-3x}+C=2a(2-3x)\sqrt{2-3x}+C$

$-4=2a$

$\Leftrightarrow a=-2$

Maka didapatkan nilai $a=-2$

Jadi, nilai $a$ adalah $-2$.