Bank Soal Matematika SMA Integral Fungsi Aljabar

Ingat bahwa $\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$ maka:

$\int\frac{(1+\sqrt{x})^2}{2\sqrt{x}}dx=\int\frac{(1+2(1)(\sqrt{x})+(\sqrt{x})^2)}{2\sqrt{x}}dx=\int\frac{(1+2\sqrt{x}+x)}{2\sqrt{x}}dx$

Ingat bahwa $\frac{(a+b+c)}{d}=\frac{a}{d}+\frac{b}{d}+\frac{c}{d}$ maka:

$\int\frac{(1+2\sqrt{x}+x)}{2\sqrt{x}}dx$

$=\int(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}+\frac{x}{2\sqrt{x}})dx$

$$ $\int(\frac{1}{2\sqrt{x}}+1+\frac{x}{2\sqrt{x}})dx$

Ingat bahwa $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{1}{x^n}=x^{-n}$ maka:

$\int(\frac{1}{2\sqrt{x}}+1+\frac{x}{2\sqrt{x}})dx$

$=\int(\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}+1+\frac{x}{2x^{\frac{1}{2}}})dx$

$=\int(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+1+\frac{1}{2}xx^{-\frac{1}{2}})dx$ ; ingat bahwa $x^ax^b=x^{a+b}$ maka:

$=\int(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+1+\frac{1}{2}x^{1+(-\frac{1}{2})})dx$

$=\int(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+1+\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}})dx$

Integral tersebut terdiri dari beberapa integral yang dijumlahkan, maka kita uraikan terlebih dahulu dengan menggunakan aturan Integral Penjumlahan dan Pengurangan, yaitu:

$\int\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx\pm\int g\left(x\right)dx$

Maka menjadi:

$=\int(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+1+\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}})dx$

$=\int\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}dx+\int1dx+\int\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}dx$

Untuk $f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1$ maka:

$\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$

Maka didapatkan:

$\int\frac{(1+\sqrt{x})^2}{2\sqrt{x}}dx$

$=\int\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}dx+\int1dx+\int\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}dx$

$=\frac{1}{2(-\frac{1}{2}+1)}x^{(-\frac{1}{2}+1)}+x+\frac{1}{2(\frac{1}{2}+1)}x^{(\frac{1}{2}+1)}+C$

$=\frac{1}{2(\frac{1}{2})}x^{\frac{1}{2}}+x+\frac{1}{2(\frac{3}{2})}x^{\frac{3}{2}}+C$

$=x^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}+x+C$

pangkat pecahan biasa dari $x^{\frac{3}{2}}$ diubah dalam pangkat pecahan campuran menjadi $x^{\frac{3}{2}}=x^{1\frac{1}{2}}=x^1x^{\frac{1}{2}}$ sehingga:

$=x^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{3}xx^{\frac{1}{2}}+x+C$; ingat bahwa $x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ maka:

$=\sqrt{x}+\frac{1}{3}x\sqrt{x}+x+C$

Jadi, $\int\frac{(1+\sqrt{x})^2}{2\sqrt{x}}dx=\sqrt{x}+\frac{1}{3}x\sqrt{x}+x+C$