Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Diketahui:

Fungsi $f\left(x\right)=\cos 2x+11$ dengan $0\degree\le x\le360\degree$

Ditanya:

Titik balik maksimum dari fungsi $f(x)$ ?

Jawab:

Secara umum nilai stasioner adalah nilai $f\left(x\right)$ ketika $f'\left(x\right)=0$. Dengan demikian untuk mencari nilai stasioner terlebih dahulu dicari pembuat nol untuk $f'\left(x\right)$.

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\cos (Ax\pm B)$ turunannya adalah $y'=-A\sin (Ax\pm B)$

Untuk fungsi $y=a$ dengan $a$ suatu konstanta turunannya adalah $y'=0$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Pada soal diketahui fungsi $f\left(x\right)=\cos 2x+11$. Diperoleh

$f'\left(x\right)=-2\sin 2x$

dengan pembuat nol

$f'\left(x\right)=0$

$\Leftrightarrow-2\sin 2x=0$

$\Leftrightarrow\sin 2x=0$

$\Leftrightarrow\sin 2x=\sin0\degree$

sebab $\sin0=0$

Perlu diingat bahwa penyelesaian persamaan $\sin\left(ax+b\right)=\sin\theta$ adalah $ax+b=\theta+k.360\degree$ atau $ax+b=\left(180\degree-\theta\right)+k.360\degree$ sehingga untuk $\sin 2x=\sin 0\degree$ didapat

$2x=0\degree+k.360\degree$

$\Leftrightarrow x=k.180\degree$

untuk $k=0$ maka $x=0.180\degree=0\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=1$ maka $x=1.180\degree=180\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=2$ maka $x=2.180\degree=360\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

atau

$2x=180\degree-0\degree+k.360\degree$

$\Leftrightarrow x=90\degree+k.180\degree$

untuk $k=0$ maka $x=90\degree+0.180\degree=90\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=1$ maka $x=90\degree+1.180\degree=270\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=2$ maka $x=90\degree+2.180\degree=450\degree$ tidak memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

Artinya, pembuat nol dari $f'\left(x\right)$ adalah $x=\left\{0\degree,\ 90\degree,\ 180\degree,\ 270\degree,\ 360\degree\right\}$

Secara umum ada tiga kondisi untuk nilai stasioner fungsi $f\left(x\right)$ untuk $x=c$. Hal ini dapat diperhatikan dari tanda $f'\left(x\right)$ disekitar $x=c$.

1. $f\left(x\right)$ mempunyai nilai balik maksimum $f\left(c\right)$ jika $f'\left(x\right)$ berganti tanda dari positif menjadi negatif saat melalui nol.
2. $f\left(x\right)$ mempunyai nilai balik minimum $f\left(c\right)$ jika $f'\left(x\right)$ berganti tanda dari negatif menjadi positif saat melalui nol.
3. $f\left(x\right)$ mempunyai titik belok horizontal pada $c$ jika $f'\left(x\right)$ tidak berganti tanda saat melalui nol.

Selanjutnya akan diperhatikan tanda $f'\left(x\right)$ disekitar $x=\left\{0\degree,\ 90\degree,\ 180\degree,\ 270\degree,\ 360\degree\right\}$.

Untuk subinterval $0\degree\le x<90\degree$ dipilih $x=45\degree$ didapat

$f'\left(x\right)=-2\sin (2.45\degree)=-2\sin (90\degree)-2.1$ (negatif).

Untuk subinterval yang lain dicari dengan cara yang sama, sehingga diperoleh

Yang diminta pada soal adalah titik balik maksimum, yaitu $f'\left(x\right)$ berganti tanda dari positif menjadi negatif saat melalui nol. Hal tersebut terjadi pada $x=180\degree$ dengan

$f\left(180\degree\right)=\cos (2.180\degree)+11$

$\Leftrightarrow f\left(180\degree\right)=\cos (360\degree)+11$

$\Leftrightarrow f\left(180\degree\right)=1+11$

$\Leftrightarrow f\left(180\degree\right)=12$

Jadi titik balik maksimum dari fungsi $f(x)$ adalah $(180\degree,\ 12)$