Bank Soal Matematika SMA Integral Fungsi Aljabar

Ingat bahwa $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ maka:

$\int\frac{1}{3}x(x+3)^3dx$ ; dimana nilai $a=x$ dan $b=3$ sehingga:

$=\int\frac{1}{3}x(x^3+3(x^2)(3)+3(x)(3^2)+(3^3))dx$

$=\int\frac{1}{3}x(x^3+9x^2+27x+27)dx$

Ingat bahwa $a(b+c+d+e)=ab+ac+ad+ae$ dan $x^ax^b=x^{a+b}$ maka:

$\int\frac{1}{3}x(x^3+9x^2+27x+27)dx$

$=\int(\frac{1}{3}x(x^3)+\frac{1}{3}x(9x^2)+\frac{1}{3}x(27x)+\frac{1}{3}x(27))dx$

$=\int(\frac{1}{3}x^{1+3}+3x^{1+2}+9x^{1+1}+9x)dx$

$=\int(\frac{1}{3}x^4+3x^3+9x^2+9x)dx$

Integral tersebut terdiri dari beberapa integral yang dijumlahkan, maka kita uraikan terlebih dahulu dengan menggunakan aturan Integral Penjumlahan dan Pengurangan, yaitu:

$\int\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx\pm\int g\left(x\right)dx$

Maka menjadi:

$\int(\frac{1}{3}x^4+3x^3+9x^2+9x)dx$

$=\int\frac{1}{3}x^4dx+\int3x^3dx+\int9x^2dx+\int9xdx$

Untuk $f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1$ maka:

$\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$

Maka didapatkan:

$\int\frac{1}{3}x(x+3)^3dx$

$=\int\frac{1}{3}x^4dx+\int3x^3dx+\int9x^2dx+\int9xdx$

$=\frac{1}{3(4+1)}x^{4+1}+\frac{3}{(3+1)}x^{3+1}+\frac{9}{(2+1)}x^{2+1}+\frac{9}{(1+1)}x^{1+1}+C$

$=\frac{1}{15}x^5+\frac{3}{4}x^4+\frac{9}{3}x^3+\frac{9}{2}x^2+C$

$=\frac{1}{15}x^5+\frac{3}{4}x^4+3x^3+\frac{9}{2}x^2+C$

Jadi, $\int\frac{1}{3}x(x+3)^3dx=\frac{1}{15}x^5+\frac{3}{4}x^4+3x^3+\frac{9}{2}x^2+C$.