Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Logaritma

Diketahui:

$^{\frac{1}{8}}\log\left(4x-\frac{1}{128}\right)>2$

Ditanya:

Himpunan penyelesaiannya$=?$

Jawab:

Basis dari kedua ruas pertidaksamaan dibuat sama terlebih dahulu dengan sifat logaritma $^a\log a^m=m\times^a\log a$

$\Leftrightarrow^{\frac{1}{8}}\log\left(4x-\frac{1}{128}\right)>2$

$\Leftrightarrow^{\frac{1}{8}}\log\left(4x-\frac{1}{128}\right)>^{\frac{1}{8}}\log\ \frac{1}{8}^2$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan, maka ada syarat yang harus dipenuhi sebagai berikut:

(i) Syarat numerous logaritma

Bentuk persamaan logaritma adalah $^a\log f\left(x\right)>^a\log p$ , maka $f\left(x\right)>0$

$\Leftrightarrow4x-\frac{1}{128}>0$

$\Leftrightarrow4x>\frac{1}{128}$

$\Leftrightarrow x>\frac{1}{128}\times\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow x>\frac{1}{512}\ \ \ ...\left(1\right)$

(ii) Syarat pertidaksamaan

Bentu pertidaksamaan logaritma adalah $^a\log f\left(x\right)>^a\log p$ dimana $0<a<1$ maka $f\left(x\right)<p$

$\Leftrightarrow4x-\frac{1}{128}<\ \frac{1}{8}^2$

$\Leftrightarrow4x-\frac{1}{128}<\ \frac{1}{64}$

$\Leftrightarrow4x<\ \frac{1}{64}+\frac{1}{128}$

$\Leftrightarrow4x<\ \frac{2}{128}+\frac{1}{128}$

$\Leftrightarrow4x<\ \frac{3}{128}$

$\Leftrightarrow x<\ \frac{3}{128}\times\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow x<\ \frac{3}{512}\ \ \ ...\left(2\right)$

(iii) Dari irisan persamaan (1) dan (2), diperoleh

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $HP=\left\{x\ |\ \frac{1}{512}<x<\frac{3}{512}\right\}$