Bank Soal Matematika SMA Persamaan Trigonometri

Soal

Pilgan

Lihat Pembahasan

Himpunan penyelesaian dari $\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$ pada interval $0\le x<2\pi$ adalah ....

A

$\left\{\frac{\pi}{4},\frac{11\pi}{12},\frac{5\pi}{4},\frac{23\pi}{12}\right\}$

B

$\left\{\frac{\pi}{4},\frac{7\pi}{5},\frac{3\pi}{2},\frac{7\pi}{4}\right\}$

C

$\left\{\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right\}$

E

$\left\{\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\right\}$

Pembahasan:

Diketahui:

Terdapat sebuah persamaan trigonometri $\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$

Ditanya:

Himpunan penyelesaiannya dari persamaan tersebut pada interval $0\le x<2\pi$ ?

Dijawab:

Berdasarkan persamaan trigonometri yang terdapat di soal adalah $\cos x=\cos a$ , maka terdapat 2 hasil yaitu $x=a+k\cdot2\pi$ dan $x=-a+k\cdot2\pi$ mengingat periode dari cosinus adalah $2\pi$ . Maka jika $x\$ dimisalkan sebagai $2x-\frac{\pi}{6}$ dan $a$ dimisalkan sebagai $\frac{\pi}{3}$ , kedua hasil itu dapat ditulis sebagai:

Kemungkinan 1

$2x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}+k\cdot2\pi$

$\leftrightarrow\ 2x=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}+k\cdot2\pi$

$\leftrightarrow\ 2x=\frac{\pi}{2}+k\cdot2\pi$

$\leftrightarrow\ x=\frac{\pi}{4}+k\cdot\pi$ (membagi kedua ruas dengan $2$ untuk mendapatkan nilai $x$ )

Berikutnya adalah menghitung nilai-nilai $x$ yang memenuhi dengan cara mensubstitusi k=0,1,2,dst.:

$\ x=\frac{\pi}{4}$ (k=0)
$\ x=\frac{5\pi}{4}$ (k=1)
$\ x=\frac{9\pi}{4}$ (k=2) [tidak memenuhi karena di luar interval]

Kemungkinan 2

$2x-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{3}+k\cdot2\pi$

$\leftrightarrow\ 2x=-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}+k\cdot2\pi$

$\leftrightarrow\ 2x=-\frac{\pi}{6}+k\cdot2\pi$

$\leftrightarrow\ x=-\frac{\pi}{12}+k\cdot\pi$ (membagi kedua ruas dengan $2$ untuk mendapatkan nilai $x$ )

Berikutnya adalah menghitung nilai-nilai $x$ yang memenuhi dengan cara mensubstitusi k=0,1,2,dst.:

$\ x=-\frac{\pi}{12}$ (k=0) [tidak memenuhi karena di luar interval]
$\ x=\frac{11\pi}{12}$ (k=1)
$\ x=\frac{23\pi}{12}$ (k=2)
$\ x=\frac{35\pi}{12}$ (k=3) [tidak memenuhi karena di luar interval]

Dapat disimpulkan bahwa himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tersebut pada interval $0\le x<2\pi$ adalah $\left\{\frac{\pi}{4},\frac{11\pi}{12},\frac{5\pi}{4},\frac{23\pi}{12}\right\}$ .