Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Diketahui:

Segitiga yang diilustrasikan seperti pada gambar berikut

Ditanya:

Keliling maksimum $\triangle PQR$ ?

Jawab:

Perlu diingat bahwa nilai $\sin\theta,\ \cos\theta,$ dan $\tan\theta$ dapat dinyatakan dalam segitiga siku-siku, yaitu

Untuk segitiga yang diketahui pada soal, diperoleh

$\sin x=\frac{PR}{QR}\Leftrightarrow PR=QR\sin x=15\sin x$

$\cos x=\frac{PQ}{QR}\Leftrightarrow PQ=QR\cos x=15\cos x$

Keliling $\triangle PQR$ adalah

$K=PQ+QR+PR=15\cos x+15+15\sin x$

Mencari keliling maksimum dapat dilakukan dengan mencari nilai maksimum dari fungsi kelilingnya.

Perlu diingat untuk sembarang fungsi $f\left(x\right)$ dan titik $x=a$ berlaku

1. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)>0$ maka $f\left(a\right)$ merupakan nilai minimum
2. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)<0$ maka $f\left(a\right)$ merupakan nilai maksimum
3. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)=0$ maka $f\left(a\right)$ bukan nilai ekstrim (minimum maupun maksimum).

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\sin x$ turunannya adalah $y'=\cos x$

Untuk fungsi $y=\cos x$ turunannya adalah $y'=-\sin x$

Untuk fungsi $y=a$ dengan $a$ suatu konstanta turunannya adalah $y'=0$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Diperoleh

$K'=-15\sin x+0+15\cos x$

$\Leftrightarrow K'=-15\sin x+15\cos x$

Perlu diingat bahwa turunan kedua suatu fungsi diperoleh dengan mencari turunan pertama dari turunan pertama fungsi tersebut. Diperoleh

$K''=-15\cos x-15\sin x$

Syarat pertama untuk mencari nilai maksimum suatu fungsi adalah dengan mencari pembuat nol turunan pertamanya. Didapat

$K'=0$

$\Leftrightarrow-15\sin x+15\cos x=0$

$\Leftrightarrow15\cos x=15\sin x$

$\Leftrightarrow\frac{15}{15}=\frac{\sin x}{\cos x}$

$\Leftrightarrow1=\tan x$

Perlu diingat pembagian kuadran sebagai berikut:

dan nilai $\sin\theta,\ \cos\theta,$ dan $\tan\theta$ yang positif pada setiap kuadran adalah

Sebelumnya telah diperoleh $\tan x=1$ artinya $x$ berada di kuadran I atau III dan dapat dinyatakan dalam segitiga siku-siku seperti berikut.

Dengan mengingat nilai positif atau negatif untuk setiap kuadran. Untuk kuadran I diperoleh

$\sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$  dan

$\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$  

sehingga

$K''=-15.\frac{1}{2}\sqrt{2}-15.\frac{1}{2}\sqrt{2}<0$ (maksimum)

dengan nilai maksimum

$K=15.\frac{1}{2}\sqrt{2}+15+15.\frac{1}{2}\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow K=15\sqrt{2}+15$

Untuk kuadran III diperoleh

$\sin x=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$ dan

$\cos x=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$

sehingga

$K''=-15\left(-\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)-15\left(-\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)$

$\Leftrightarrow K''=15\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)+15\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)>0$ (minimum)

Karena yang diminta soal adalah keliling maksimum, maka nilai minimum tidak perlu dicari. Jadi keliling maksimum segitiga tersebut adalah $15\sqrt{2}+15$ cm