Bank Soal Matematika SMA Persamaan Trigonometri

Diketahui:

Terdapat sebuah persamaan trigonometri $\leftrightarrow\ 5\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)=3-\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\$.

Ditanya:

Nilai $\tan2\theta$ dengan interval $0\le\theta\le\frac{\pi}{2}$?

Dijawab:

$\leftrightarrow\ 5\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)=3-\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)$

$\leftrightarrow\ 4\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)=3-\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\ -\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)$

$\leftrightarrow\ 4\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)=3-\left(\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\ +\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)$

$\leftrightarrow\ 4\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)=3-1$ (menggunakan identitas trigonometri)

$\leftrightarrow\ 4\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)=2$

$\leftrightarrow2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=\pm\sqrt{2}$

$\leftrightarrow\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$(membagi kedua ruas dengan $2$)

Berdasarkan persamaan trigonometri yang terdapat di soal adalah $\sin x=\sin a\$, maka terdapat 2 hasil yaitu $x=a+k\cdot2\pi$ dan $x=\left(\pi-a\right)+k\cdot2\pi$ mengingat periode dari sinus adalah $2\pi$ . Maka kedua hasil itu dapat ditulis sebagai:

Himpunan penyelesaian pertama

$\sin\frac{\theta}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Kemungkinan 1

$\frac{\theta}{2}=\frac{\pi}{4}+2k\pi$

$\leftrightarrow\ \theta\ =\frac{\pi}{2}+4k\pi$ (mengalikan kedua ruas dengan $2$)

Berikutnya adalah menghitung nilai-nilai $x$ yang memenuhi dengan cara mensubstitusi k=0,1,2,dst.:

1. $\theta\ =\frac{\pi}{2}$ (k=0)
2. $\theta\ =\frac{9\pi}{2}$ (k=1) [tidak memenuhi karena di luar interval]

Kemungkinan 2

$\frac{\theta}{2}=\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)+2k\pi$

$\leftrightarrow\ \frac{\theta}{2}\ =\frac{3\pi}{4}+2k\pi$

$\leftrightarrow\ \theta\ =\frac{3\pi}{2}+4k\pi$ (mengalikan kedua ruas dengan $2$)

Berikutnya adalah menghitung nilai-nilai $x$ yang memenuhi dengan cara mensubstitusi k=0,1,2,dst.:

1. $\theta\ =\frac{3\pi}{2}$ (k=0) [tidak memenuhi karena di luar interval]
2. $\theta\ =\frac{11\pi}{2}$ (k=1) [tidak memenuhi karena di luar interval]

Himpunan penyelesaian kedua

$\sin\frac{\theta}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Kemungkinan 1

$\frac{\theta}{2}=\frac{5\pi}{4}+2k\pi$

$\leftrightarrow\ \theta\ =\frac{5\pi}{2}+4k\pi$ (mengalikan kedua ruas dengan $2$)

Berikutnya adalah menghitung nilai-nilai $x$ yang memenuhi dengan cara mensubstitusi k=0,1,2,dst.:

1. $\theta\ =\frac{5\pi}{2}$ (k=0) [tidak memenuhi karena di luar interval]
2. $\theta\ =\frac{13\pi}{2}$ (k=1) [tidak memenuhi karena di luar interval]

Kemungkinan 2

$\frac{\theta}{2}=\left(\pi-\frac{5\pi}{4}\right)+2k\pi$

$\leftrightarrow\ \frac{\theta}{2}\ =-\frac{\pi}{4}+2k\pi$

$\leftrightarrow\ \theta\ =-\frac{\pi}{2}+4k\pi$ (mengalikan kedua ruas dengan $2$)

Berikutnya adalah menghitung nilai-nilai $x$ yang memenuhi dengan cara mensubstitusi k=0,1,2,dst.:

1. $\theta\ =-\frac{\pi}{2}$ (k=0) [tidak memenuhi karena di luar interval]
2. $\theta\ =\frac{7\pi}{2}$ (k=1) [tidak memenuhi karena di luar interval]

Sehingga didapat bahwa nilai $\theta$ yang memenuhi interval adalah $\frac{\pi}{2}$, sehingga nilai $\tan2\theta$ adalah:

$=\tan2\left(\frac{\pi}{2}\right)$

$=\tan\pi$

$=0$