Bank Soal Matematika SMA Distribusi Peluang Binomial

Diketahui:

Sebuah mata uang yang memiliki sisi angka dan gambar

Banyak undian yang dilakukan $=4$ kali

Ditanya:

Peluang pada undian akan muncul lebih dari dua kali sisi gambar $=?$

Jawab:

Soal di atas termasuk dalam kasus distribusi binomial karena percobaan terdiri dari $n$ pengulangan dan setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil seperti ya-tidak, sukses-gagal.

Di sini 4 kali undian yang dilakukan adalah percobaan dengan 4 pengulangan sedangkan munculnya sisi gambar dan bukan gambar adalah dua kemungkinan hasil. Di sini bukan gambar artinya adalah sisi angka.

Distribusi binomial merupakan distribusi peluang diskrit dengan fungsi peluangnya adalah

$P\left(X=x\right)=b\left(x;\ n;\ p\right)=\left(_x^n\right)p^x\ .\ q^{n-x}$

dengan $x=0,1,2,...,n$ dan $\left(_x^n\right)=\frac{n!}{\left(n-x\right)!\ .\ x!}$

dimana $x$ adalah banyaknya sukses, $n$ adalah banyaknya percobaan, $p$ adalah probabilitas kesuksesan, dan $q=1-p$ adalah probabilitas kegagalan.

Diketahui mata uang memiliki sisi angka dan gambar maka $p=\frac{1}{2};\ q=\frac{1}{2}$. Undian dilakukan sebanyak $4$ kali berarti $n=4$.

Ditanyakan peluang pada undian akan muncul lebih dari dua kali sisi gambar berarti $P\left(X>2\right)$

$P\left(X>2\right)=P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)$

Untuk $P\left(X=3\right)$

$P\left(X=3\right)=\left(_3^4\right)\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^{4-3}$

$=\left(\frac{4!}{\left(4-3\right)!\ .\ 3!}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^1$

$=\left(\frac{4!}{1!\ .\ 3!}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^1$

$=\frac{1}{4}$

Untuk $P\left(X=4\right)$

$P\left(X=4\right)=\left(_4^4\right)\left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\frac{1}{2}\right)^{4-4}$

$=\left(\frac{4!}{\left(4-4\right)!\ .\ 4!}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\frac{1}{2}\right)^0$

$=\left(\frac{4!}{0!\ .\ 4!}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\frac{1}{2}\right)^0$

$=\frac{1}{16}$

Maka,

$P\left(X>2\right)=P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)$

$=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}$

$=\frac{4}{16}+\frac{1}{16}$

$=\frac{5}{16}$

Jadi, peluang pada undian akan muncul lebih dari dua kali sisi gambar adalah $\frac{5}{16}$.