Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Soal

Pilgan

Solusi dari pertidaksamaan x213x2+x2\sqrt{x^2-1}\le\sqrt{3x^2+x-2} adalah ....

A

x1x\le-1 atau x1x\ge1

B

x12x\ge\frac{1}{2}

C

x1x\le-1

D

x23x\le-\frac{2}{3} atau x1x\ge1

E

x12x\ge\frac{1}{2}

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan x213x2+x2\sqrt{x^2-1}\le\sqrt{3x^2+x-2}

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan irasional dalam bentuk akar memiliki bentuk umum

f(x)g(x), f(x)<g(x), f(x)g(x), \sqrt{f\left(x\right)}\le\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}\ge\sqrt{g\left(x\right)},\ maupun f(x)>g(x)\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}

dengan f(x)f\left(x\right) dan g(x)g\left(x\right) berupa konstanta maupun polinom serta ruas kanan bisa juga bukan dalam bentuk akar.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional dalam bentuk akar adalah

  1. Mencari syarat akar atau numerusnya jika dalam bentuk akar, yaitu f(x)0f\left(x\right)\ge0 dan g(x)0g\left(x\right)\ge0
  2. Mengkuadratkan kedua ruas, kemudian selesaikan
  3. Penyelesaiannya merupakan irisan dari bagian 1 dan 2

Pada soal diketahui pertidaksamaan

x213x2+x2\sqrt{x^2-1}\le\sqrt{3x^2+x-2} ... (1)

yang berarti f(x)=x21f\left(x\right)=x^2-1 dan g(x)=3x2+x2g\left(x\right)=3x^2+x-2.

Setelah mendefinisikan kedua fungsi tersebut, kita cari syarat akar untuk f(x)f\left(x\right) dan g(x)g\left(x\right).

f(x)0f\left(x\right)\ge0

x210x^2-1\ge0 ... (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

ax2+bx+c<0, ax2+bx+c0, ax2+bx+c>0, atau ax2+bx+c0ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0

dengan a, b, ca,\ b,\ c merupakan konstanta dan a0a\ne0.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

  1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien x2x^2 positif.
  2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
  3. Misalkan x1x_1 dan x2x_2 merupakan pembuat nolnya dengan x1<x2x_1<x_2 maka penyelesaiannya adalah
  • xx1x\le x_1 atau xx2x\ge x_2, untuk tanda pertidaksamaan \ge (atau >> dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
  • x1xx2x_1\le x\le x_2, untuk tanda pertidaksamaan \le (atau << dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien x2x^2 positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (2), diperoleh

x21=0x^2-1=0

Persamaan ini memiliki bentuk a2b2a^2-b^2. Bentuk ini juga dapat ditulis sebagai (ab)(a+b)\left(a-b\right)\left(a+b\right). Dari sini, dapat diketahui bahwa a=x, b=1a=x,\ b=1.

(x1)(x+1)=0\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0

x=1x=1 atau x=1x=-1

Pembuat nolnya adalah 1-1 dan 11. Karena tanda pertidaksamaan (2) adalah \ge, solusi dari kasus ini adalah x1x\ge1 atau x1x\le-1 ... (I).

Sekarang, kita selesaikan syarat akar fungsi g(x)g\left(x\right).

g(x)0g\left(x\right)\ge0

3x2+x203x^2+x-2\ge0

Dengan cara yang sama, kita dapat peroleh:

(3x+2)(x1)0\left(3x+2\right)\left(x-1\right)\ge0

x1x\ge1 atau x23x\le-\frac{2}{3} ... (II)

Selanjutnya, kita kuadratkan kedua ruas.

x213x2+x2x^2-1\le3x^2+x-2

02x2+x10\le2x^2+x-1

2x2+x102x^2+x-1\ge0

(2x1)(x+1)0\left(2x-1\right)\left(x+1\right)\ge0

x12x\ge\frac{1}{2} atau x1x\le-1 ... (III)

Solusi pertidaksamaan adalah irisan dari (I), (II), dan (III).

Jadi, solusinya adalah x1x\le-1 atau x1x\ge1.

Pembuktian:

Misalkan untuk rentang x1x\le-1, kita gunakan x=2x=-2 untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (1).

(2)213(2)222\sqrt{\left(-2\right)^2-1}\le\sqrt{3\cdot\left(-2\right)^2-2-2}

413422\sqrt{4-1}\le\sqrt{3\cdot4-2-2}

31222\sqrt{3}\le\sqrt{12-2-2}

38\sqrt{3}\le\sqrt{8} ... (3)

Pernyataan (3) benar. Jadi, solusi tersebut terbukti memenuhi pertidaksamaan.

K13 Kelas X Matematika Aljabar Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Vari... Pertidaksamaan Irasional Skor 2
Matematika Wajib Teknik Hitung LOTS
Video
11 Januari 2022
Pertidaksamaan Irasional | Matematika Wajib | Kelas X
Rangkuman
08 April 2020
Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal