Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $\sqrt{x^2-1}\le\sqrt{3x^2+x-2}$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan irasional dalam bentuk akar memiliki bentuk umum

$\sqrt{f\left(x\right)}\le\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}\ge\sqrt{g\left(x\right)},\$ maupun $\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom serta ruas kanan bisa juga bukan dalam bentuk akar.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional dalam bentuk akar adalah

1. Mencari syarat akar atau numerusnya jika dalam bentuk akar, yaitu $f\left(x\right)\ge0$ dan $g\left(x\right)\ge0$
2. Mengkuadratkan kedua ruas, kemudian selesaikan
3. Penyelesaiannya merupakan irisan dari bagian 1 dan 2

Pada soal diketahui pertidaksamaan

$\sqrt{x^2-1}\le\sqrt{3x^2+x-2}$ ... (1)

yang berarti $f\left(x\right)=x^2-1$ dan $g\left(x\right)=3x^2+x-2$.

Setelah mendefinisikan kedua fungsi tersebut, kita cari syarat akar untuk $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$.

$f\left(x\right)\ge0$

⇔ $x^2-1\ge0$ ... (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien $x^2$ positif.
2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
3. Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan pembuat nolnya dengan $x_1<x_2$ maka penyelesaiannya adalah

• $x\le x_1$ atau $x\ge x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\ge$ (atau $>$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
• $x_1\le x\le x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\le$ (atau $<$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien $x^2$ positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (2), diperoleh

$x^2-1=0$

Persamaan ini memiliki bentuk $a^2-b^2$. Bentuk ini juga dapat ditulis sebagai $\left(a-b\right)\left(a+b\right)$. Dari sini, dapat diketahui bahwa $a=x,\ b=1$.

⇔ $\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$

⇔ $x=1$ atau $x=-1$

Pembuat nolnya adalah $-1$ dan $1$. Karena tanda pertidaksamaan (2) adalah $\ge$, solusi dari kasus ini adalah $x\ge1$ atau $x\le-1$ ... (I).

Sekarang, kita selesaikan syarat akar fungsi $g\left(x\right)$.

$g\left(x\right)\ge0$

⇔ $3x^2+x-2\ge0$

Dengan cara yang sama, kita dapat peroleh:

⇔ $\left(3x+2\right)\left(x-1\right)\ge0$

⇔ $x\ge1$ atau $x\le-\frac{2}{3}$ ... (II)

Selanjutnya, kita kuadratkan kedua ruas.

$x^2-1\le3x^2+x-2$

⇔ $0\le2x^2+x-1$

⇔ $2x^2+x-1\ge0$

⇔ $\left(2x-1\right)\left(x+1\right)\ge0$

⇔ $x\ge\frac{1}{2}$ atau $x\le-1$ ... (III)

Solusi pertidaksamaan adalah irisan dari (I), (II), dan (III).

Jadi, solusinya adalah $x\le-1$ atau $x\ge1$.

Pembuktian:

Misalkan untuk rentang $x\le-1$, kita gunakan $x=-2$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (1).

⇔ $\sqrt{\left(-2\right)^2-1}\le\sqrt{3\cdot\left(-2\right)^2-2-2}$

⇔ $\sqrt{4-1}\le\sqrt{3\cdot4-2-2}$

⇔ $\sqrt{3}\le\sqrt{12-2-2}$

⇔ $\sqrt{3}\le\sqrt{8}$ ... (3)

Pernyataan (3) benar. Jadi, solusi tersebut terbukti memenuhi pertidaksamaan.