Bank Soal Matematika SMA Kedudukan Dua Lingkaran

Diketahui:

lingkaran $L_1:x^2+y^2-2x-6y+1=0$

lingkaran $L_2:x^2+y^2-10x-12y+47=0$

Ditanya:

Panjang tali busur $=?$

Jawab:

Panjang tali busur $AB$ dapat diperoleh dengan

$AB=2\left(\sqrt{r_1^2-d_1^2}\right)=2\left(\sqrt{r_2^2-d_2^2}\right)$

dengan $r_1$ dan $r_2$ adalah jari-jari dari masing-masing lingkaran dan $d_1$ dan $d_2$ adalah jarak tegak lurus dari tali busurnya atau jarak titik pusat masing-masing lingkaran dengan tali busurnya.

Mencari persamaan tali busur

Persamaan tali busur $L_1$ dan $L_2$ diperoleh dengan

$L_1-L_2=0$

Dengan demikian eliminasikan $L_1$ dan $L_2$

Mencari jarak tegak lurus dari tali busurnya

Misal jarak titik pusat lingkaran $L_1$ dengan tali busur

Diketahui lingkaran $L_1:x^2+y^2-2x-6y+1=0$

Maka titik pusatnya

Pusat $=\left(-\frac{1}{2}\left(-2\right),-\frac{1}{2}\left(-6\right)\right)$

$=\left(1,3\right)$

Jari-jarinya adalah

$r=\sqrt{\frac{1}{4}\left(-2\right)^2+\frac{1}{4}\left(-6\right)^2-1}$

$=\sqrt{\frac{1}{4}\left(4\right)+\frac{1}{4}\left(36\right)-1}$

$=\sqrt{1+9-1}$

$=\sqrt{9}$

$=3$

Jarak titik $\left(p,q\right)$ ke garis dengan persamaan $ax+by+c=0$ adalah

$d=\left|\frac{pa+qb+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|$

Dengan demikian jarak titik $\left(1,3\right)$ ke tali busur $8x+6y-46=0$ adalah

$d=\left|\frac{8\left(1\right)+6\left(3\right)-46}{\sqrt{8^2+6^2}}\right|$

$=\left|\frac{8+18-46}{\sqrt{64+36}}\right|$

$=\left|\frac{-20}{\sqrt{100}}\right|$

$=\left|\frac{-20}{10}\right|$

$=2$

Mencari panjang tali busur

Panjang tali busur $=2\left(\sqrt{r_1^2-d_1^2}\right)$

$=2\left(\sqrt{\left(3\right)^2-\left(2\right)^2}\right)$

$=2\left(\sqrt{9-4}\right)$

$=2\sqrt{5}$