Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $x+3<\sqrt{x+33}$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan ini juga dapat ditulis dalam bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}>\ g\left(x\right)$. Jika bentuk umumnya seperti ini, ada dua solusi yang dapat digabungkan jadi satu nantinya.

Solusi 1 (*):

Irisan dari

1. Syarat akar $f\left(x\right)\ge0$ (I)
2. Kasus fungsi $g\left(x\right)\ge0$ (positif atau sama dengan nol) (II)
3. Kuadratkan kedua ruas menjadi $f\left(x\right)>g\left(x\right)^2$ (III)

Solusi 2 (**):

Irisan dari

1. Syarat akar $f\left(x\right)\ge0$ (IV)
2. Kasus fungsi $g\left(x\right)<0$ (negatif) (V)

Kedua ruas tidak perlu dikuadratkan lagi karena jika $g\left(x\right)<0$, $\sqrt{f\left(x\right)}>g\left(x\right)$ akan benar untuk seluruh nilai $x$ riil.

Solusi akhir:

Gabungan dari solusi 1 dan 2.

Pertidaksamaan yang diberikan oleh soal adalah

$\sqrt{x+33}>x+3$ ... (1)

dengan $f\left(x\right)=x+33$ dan $g\left(x\right)=x+3$.

Sekarang, kita cari solusi untuk masing-masing kasus.

Solusi 1:

Kasus 1

$x+33\ge0$ ⇔ $x\ge-33$ ...(I)

Kasus 2

$x+3\ge0$ ⇔ $x\ge-3$ ... (II)

Kasus 3

$x+33\ >\ \left(x+3\right)^2$

⇔ $x+33\ >\ x^2+6x+9$

⇔ $0\ >\ x^2+5x-24$

⇔ $x^2+5x-24<0$ ... (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien $x^2$ positif.
2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
3. Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan pembuat nolnya dengan $x_1<x_2$ maka penyelesaiannya adalah

• $x\le x_1$ atau $x\ge x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\ge$ (atau $>$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
• $x_1\le x\le x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\le$ (atau $<$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien $x^2$ positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (2), diperoleh

$x^2+5x-24=0$

⇔ $\left(x+8\right)\left(x-3\right)=0$

$x+8=0$ ⇔ $x=-8$ atau

$x-3=0$ ⇔ $x=3$

Pembuat nol dari pertidaksamaan (2) adalah $-8$ dan $3$. Karena tandanya $<$, solusi dari kasus 3 adalah $-8<x<3$ (III).

Irisan dari solusi (I), (II), dan (III) adalah

Jadi solusi 1 adalah $-3\le x<3$ (*)

Solusi 2:

Kasus 1

$x+33\ge0$ ⇔ $x\ge-33$ ...(IV)

Kasus 2

$x+3<0$ ⇔ $x<-3$ ... (V)

Irisan dari (IV) dan (V) adalah

Jadi, solusi 2 adalah $-33\le x<-3$ (**)

Solusi keseluruhan adalah gabungan dari (*) dan (**). Kesimpulannya, solusi gabungan adalah $-33\le x<3$

Pembuktian:

Untuk $-33\le x<3$, kita gunakan $x=1$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (1).

⇔ $\sqrt{1+33}>1+3$

⇔ $\sqrt{34}>4$ ... (3)

Pernyataan (3) benar. Jadi, solusi tersebut terbukti memenuhi persamaan.