Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $\sqrt{x+2}>\sqrt{x-2}$

Ditanya:

Solusi dari pertidaksamaan

Dijawab:

Pertidaksamaan irasional dalam bentuk akar memiliki bentuk umum

$\sqrt{f\left(x\right)}\le\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}\ge\sqrt{g\left(x\right)},\$ maupun $\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom serta ruas kanan bisa juga bukan dalam bentuk akar.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional dalam bentuk akar adalah

1. Mencari syarat akar atau numerusnya jika dalam bentuk akar, yaitu $f\left(x\right)\ge0$ dan $g\left(x\right)\ge0$
2. Mengkuadratkan kedua ruas, kemudian selesaikan
3. Penyelesaiannya merupakan irisan dari bagian 1 dan 2

Pada soal diketahui pertidaksamaan

$\sqrt{x+2}>\sqrt{x-2}$ ... (1)

yang berarti $f\left(x\right)=x+2$ dan $g\left(x\right)=x-2$.

Setelah mendefinisikan kedua fungsi tersebut, kita cari syarat akar untuk $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$.

$f\left(x\right)\ge0$

$x+2\ge0$ ⇔ $x\ge-2$ (*)

$g\left(x\right)\ge0$

$x-2\ge0$ ⇔ $x\ge2$ (**)

Sekarang, kita kuadratkan pertidaksamaan (1).

$\left(\sqrt{x+2}\right)^2>\left(\sqrt{x-2}\right)^2$

⇔ $x+2>x-2$ ... (2)

Untuk berapa pun nilai $x$ riil, pertidaksamaan di atas akan selalu benar. Jadi, solusi dari pertidaksamaan (2) adalah $x\in\Re$ (***).

Solusi pertidaksamaan (1) adalah irisan dari solusi (*), (**), dan (***).

Jadi, jawabannya adalah $x\ge2$.

Pembuktian:

Untuk $x\ge2$, kita gunakan $x=3$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (1)

⇔ $\sqrt{3+2}>\sqrt{3-2}$

⇔ $\sqrt{5}>\sqrt{1}$

⇔ $\sqrt{5}>1$ ... (3)

Pernyataan (3) benar. Jadi, solusi tersebut terbukti memenuhi pertidaksamaan.