Bank Soal Matematika SMA Sudut pada Bangun Ruang

Diketahui:

$r=10\ \text{cm}$

Ditanya:

Besar nilai cosinus sudut antara $PQR$ dan $EFGH$.

Dijawab:

Garis $PQ$ menjadi garis tumpuan atau perpotongan bidang $PQR$ dan $EFGH$. Sudut antara keduanya dapat diperoleh dengan menarik garis yang melalui bidang dan tegak lurus terhadap garis tumpuan. Garis $OF$ melalui bidang $EFGH$ dan tegak lurus terhadap garis $PQ$. Garis $OR$ melalui bidang $PQR$ dan tegak lurus terhadap garis $PQ$. Sehingga, sudut antara bidang $PQR$ dan $EFGH$ dapat diwakili oleh $\angle FOR$.

• Panjang $FR$

$FR=\frac{1}{2}FB$

$=5\ \text{cm}$

• Panjang $PO$

$PO=\frac{1}{2}PQ$

$=\frac{1}{2}\sqrt{PF^2+FQ^2}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{5^2+5^2}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{25+25}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{50}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{25\times2}$

$=\frac{1}{2}\left(5\sqrt{2}\right)$

$=\frac{5}{2}\sqrt{2}\ \text{cm}$

• Panjang $OF$

$OF=\sqrt{PF^2-PO^2}$

$=\sqrt{5^2-\left(\frac{5}{2}\sqrt{2}\right)^2}$

$=\sqrt{25-\frac{25}{2}}$

$=\sqrt{\frac{25}{2}}$

$=\frac{5}{2}\sqrt{2}\ \text{cm}$

• Panjang $OR$

$OR=\sqrt{FR^2+OF^2}$

$=\sqrt{5^2+\left(\frac{5}{2}\sqrt{2}\right)^2}$

$=\sqrt{25+\frac{25}{2}}$

$=\sqrt{\frac{75}{2}}$

$=\frac{5}{2}\sqrt{6}\ \text{cm}$

• Cosinus $\angle FOR$

$\cos x=\frac{OF}{OR}$

$\cos x=\frac{\frac{5}{2}\sqrt{2}}{\frac{5}{2}\sqrt{6}}$

$=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\times\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

$=\frac{1}{3}\sqrt{3}$

Jadi, besar nilai cosinus sudut antara $PQR$ dan $EFGH$ adalah $\frac{1}{3}\sqrt{3}$.