Bank Soal Matematika SMA Sudut pada Bangun Ruang

Soal

Pilgan

Diberikan kubus ABCD.EFGHABCD.EFGH dengan panjang rusuk 44 cm. Sudut α\alpha adalah sudut yang terbentuk antara bidang AFHAFH dan BDEBDE. Nilai sinus α\alpha adalah ....

A

23\frac{2}{3}

B

123\frac{1}{2}\sqrt{3}

C

232\frac{2}{3}\sqrt{2}

D

3\sqrt{3}

E

133\frac{1}{3}\sqrt{3}

Pembahasan:

Diketahui:

r=4 mr=4\ \text{m}

Ditanya:

Nilai sinus sudut α\alpha yang terbentuk antara AFHAFH dan BDEBDE.

Dijawab:

Bidang AFHAFH dan BDEBDE berpotongan pada sebuah garis tumpuan, dimana kedua ujung garis tersebut merupakan titik potong diagonal sisi ADHEADHE dan ABFEABFE. Sudut antara kedua bidang dapat diketahui dengan menarik garis yang melalui masing-masing bidang ADHEADHE dan ABFEABFE, dan tegak lurus terhadap garis tumpuan. Garis tersebut adalah PAPA dan POPO. Sehingga, sudut antara kedua bidang dapat diwakili oleh APO\angle APO .

  • Panjang AOAO

AO=12AB2+BC2AO=\frac{1}{2}\sqrt{AB^2+BC^2}

=1242+42=\frac{1}{2}\sqrt{4^2+4^2}

=1216+16=\frac{1}{2}\sqrt{16+16}

=1232=\frac{1}{2}\sqrt{32}

=12×42=\frac{1}{2}\times4\sqrt{2}

=22 cm=2\sqrt{2}\ \text{cm}

  • Panjang PAPA dan POPO

Titik PP berada di garis tumpuan yang merupakan terdiri atas titik-titik tengah diagonal sisi kubus, sehingga panjang PAPA adalah setengah dari tinggi segitiga AFHAFH. Begitu juga dengan POPO yang panjang ruasnya setengah dari tinggi segitiga BDEBDE.

PA=12AF2(12HF)2PA=\frac{1}{2}\sqrt{AF^2-\left(\frac{1}{2}HF\right)^2}

=12(42)2(1242)2=\frac{1}{2}\sqrt{\left(4\sqrt{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}4\sqrt{2}\right)^2}

=12328=\frac{1}{2}\sqrt{32-8}

=1224=\frac{1}{2}\sqrt{24}

=12×26=\frac{1}{2}\times2\sqrt{6}

=6 cm=\sqrt{6}\ \text{cm}

  • Panjang tinggi segitiga APOAPO

t=PO2(12AO)2t=\sqrt{PO^2-\left(\frac{1}{2}AO\right)^2}

=(6)2(2)2=\sqrt{\left(\sqrt{6}\right)^2-\left(\sqrt{2}\right)^2}

=62=\sqrt{6-2}

=4=\sqrt{4}

=2 cm=2\ \text{cm}

  • Sudut α\alpha

Bidang APOAPO adalah segitiga sama kaki. Nilai sinus α\alpha daat diketahui dengan mencari nilai sinus 2x2x, dimana sin2x=2sinxcosx\sin2x=2\sin x\cos x.

sinx=26\sin x=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}

=26×66=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\times\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}

=126=\frac{\sqrt{12}}{6}

=236=\frac{2\sqrt{3}}{6}

=133=\frac{1}{3}\sqrt{3}

cosx=tPO\cos x=\frac{t}{PO}

=26×66=\frac{2}{\sqrt{6}}\times\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}

==266==\frac{2}{6}\sqrt{6}

=136=\frac{1}{3}\sqrt{6}

sinα=2sinxcosx\sin\alpha=2\sin x\cos x

=2×133×136=2\times\frac{1}{3}\sqrt{3}\times\frac{1}{3}\sqrt{6}

=2918=\frac{2}{9}\sqrt{18}

=232=\frac{2}{3}\sqrt{2}

Jadi, nilai sinus α\alpha yang terbentuk antara AFHAFH dan BDEBDE adalah 232\frac{2}{3}\sqrt{2} .

K13 Kelas XII Matematika Geometri Dimensi Tiga (Geometri Ruang) Sudut pada Bangun Ruang Skor 3
Matematika Wajib Teknik Hitung LOTS
Video
16 Maret 2020
Sudut | Matematika | Kelas IV
Rangkuman
08 April 2020
Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal