Bank Soal Matematika SMA Tafsiran Geometri dari Kedudukan Vektor

Soal

Pilgan

Lihat Pembahasan

Diketahui titik $P$ dan $R$ berturut-turut memiliki vektor posisi $2\vec{a}$ dan $3\vec{b}$ . Titik $Q$ membagi garis $PR$ menjadi dua bagian dengan perbandingan $1:m$ seperti pada gambar berikut.

Jika diketahui $\overrightarrow{OQ}=\frac{4}{6}\overrightarrow{OP}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OR}$ , maka nilai dari $m$ adalah ....

E

$3$

Pembahasan:

Diketahui:

Titik $P$ dan $R$ berturut-turut memiliki vektor posisi $2\vec{a}$ dan $3\vec{b}$ . Titik $Q$ membagi garis $PR$ menjadi dua bagian dengan perbandingan $1:m$ seperti pada gambar berikut.

Diketahui pula $\overrightarrow{OQ}=\frac{4}{6}\overrightarrow{OP}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OR}$ .

Ditanya:

Nilai dari $m$ ?

Jawab:

Karena titik $P$ dan $R$ berturut-turut memiliki vektor posisi $2\vec{a}$ dan $3\vec{b}$ , didapat $\overrightarrow{OP}=2\vec{a}$ dan $\overrightarrow{OR}=3\vec{b}$ . Berdasarkan yang diketahui, diperoleh

$\overrightarrow{OQ}=\frac{4}{6}\overrightarrow{OP}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OR}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{OQ}=\frac{4}{6}2\vec{a}+\frac{1}{3}3\vec{b}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{OQ}=\frac{4}{3}\vec{a}+\vec{b}$

Berdasarkan gambar yang diketahui, terlihat bahwa titik $P,\ Q,\ R$ segaris dan memenuhi $\frac{\overrightarrow{PQ}}{\overrightarrow{QR}}=\frac{1}{m}$ . Selain itu, secara umum jika diketahui vektor posisi $\overrightarrow{OA}$ dan $\overrightarrow{OB}$ , maka vektor $\overrightarrow{AB}$ dapat dicari menggunakan rumus $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ sehingga diperoleh

$\frac{\overrightarrow{PQ}}{\overrightarrow{QR}}=\frac{1}{m}$

$\Leftrightarrow m\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{QR}$

$\Leftrightarrow m\left(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}\right)=\left(\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OQ}\right)$

$\Leftrightarrow m\overrightarrow{OQ}-m\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OQ}$

$\Leftrightarrow m\overrightarrow{OQ}-m.2\vec{a}=3\vec{b}-\overrightarrow{OQ}$

$\Leftrightarrow m\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OQ}=3\vec{b}+2m\vec{a}$

$\Leftrightarrow\left(m+1\right)\overrightarrow{OQ}=2m\vec{a}+3\vec{b}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{OQ}=\frac{2m}{m+1}\vec{a}+\frac{3}{m+1}\vec{b}$

Sebelumnya telah diperoleh $\overrightarrow{OQ}=\frac{4}{3}\vec{a}+\vec{b}$ artinya

$\frac{2m}{m+1}=\frac{4}{3}$

$\Leftrightarrow3.2m=4\left(m+1\right)$

$\Leftrightarrow6m=4m+4$

$\Leftrightarrow6m-4m=4$

$\Leftrightarrow2m=4$

$\Leftrightarrow m=\frac{4}{2}$

$\Leftrightarrow m=2$

K13 Kelas X Matematika Geometri Vektor Ruang Dimensi Dua dan Tiga Tafsiran Geometri dari Kedudukan Vektor Skor 2
Matematika Peminatan Teknik Hitung LOTS