Latihan Matematika Peminatan Kelas XII Distribusi Variabel Acak
# 4
Pilgan

Misalkan XX dan YY memiliki fungsi probabilitas bersama sebagai berikut.

Nilai dari P(Y=1X=1)P\left(Y=1|X=1\right) adalah ....

A

314\frac{3}{14}

B

514\frac{5}{14}

C

25\frac{2}{5}

D

35\frac{3}{5}

E

12\frac{1}{2}

Pembahasan:

Diketahui:

Misalkan XX dan YY memiliki fungsi probabilitas bersama sebagai berikut.

Ditanya:

P(Y=1X=1)=?P\left(Y=1|X=1\right)=?

Dijawab:

Peluang bersyarat dengan kejadian X=xX=x dan Y=yY=y maka:

P(Y=yX=x)=P(X=x,Y=y)P(X=x)P\left(Y=y|X=x\right)=\frac{P\left(X=x,Y=y\right)}{P\left(X=x\right)}

P(Y=yX=x)=f(x,y)g(x)\Leftrightarrow P\left(Y=y|X=x\right)=\frac{f\left(x,y\right)}{g\left(x\right)} dengan g(x)>0g\left(x\right)>0

dengan f(x,y)f\left(x,y\right) adalah fungsi probabilitas bersama dari XX dan YY dan g(x)g\left(x\right) adalah fungsi marginal dari XX dimana

g(x)=y=0nf(x,y)g\left(x\right)=\sum_{y=0}^nf\left(x,y\right)

Berdasarkan soal di atas, hitung terlebih dahulu g(1)g\left(1\right) didapatkan:

g(1)=f(1,0)+f(1,1)+f(1,2)g\left(1\right)=f\left(1,0\right)+f\left(1,1\right)+f\left(1,2\right)

=928+314+0=\frac{9}{28}+\frac{3}{14}+0

=1528=\frac{15}{28}

Sehingga:

P(Y=1X=1)=f(1,1)g(1)P\left(Y=1|X=1\right)=\frac{f\left(1,1\right)}{g\left(1\right)}

=3141528=\frac{\frac{3}{14}}{\frac{15}{28}}

=314×2815=\frac{3}{14}\times\frac{28}{15}

=25=\frac{2}{5}

Jadi, P(Y=1X=1)=25P\left(Y=1|X=1\right)=\frac{2}{5}.