Latihan Matematika Wajib Kelas XII Ukuran Penyebaran Data
# 7
Pilgan

Perhatikan tabel di bawah ini.

Variansi dari data di atas adalah ....

A

157,5

B

5,15

C

42,25

D

5,51

E

45,22

Pembahasan:

Diketahui:

Σi=1k=2+4+8+12+10+4=40\Sigma_{i=1}^k=2+4+8+12+10+4=40

Ditanya:

Variansi =σ2=?=\sigma^2=?

Jawab:

Simpangan rata-rata dari data berkelompok dapat dihitung dengan rumus

σ2=Σi=1kfi(xix)2Σi=1kfi\sigma^2=\frac{\Sigma_{i=1}^kf_i\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{\Sigma_{i=1}^kf_i}

dengan

xi=x_i= nilai tengah kelas ke-ii

x=\overline{x}= rata-rata

fi=f_i= frekuensi kelas ke-ii

Oleh karena itu, kita harus menemukan rata-ratanya terlebih dahulu.

Menghitung rata-rata.

Rata-rata data berkelompok dapat ditemukan dengan

x=Σi=1kxifiΣi=1kfi\overline{x}=\frac{\Sigma_{i=1}^kx_if_i}{\Sigma_{i=1}^kf_i}

dengan xix_i adalah nilai tengah kelas kei-i dan fif_i adalah frekuensi kelas kei-i.

Menemukan nilai tengah.

Nilai tengah kelas ke-1 adalah x1=141+1452=2862=143x_1=\frac{141+145}{2}=\frac{286}{2}=143

Nilai tengah kelas ke-2 adalah x2=146+1502=2962=148x_2=\frac{146+150}{2}=\frac{296}{2}=148

Nilai tengah kelas ke-3 adalah x3=151+1552=3062=153x_3=\frac{151+155}{2}=\frac{306}{2}=153

Nilai tengah kelas ke-4 adalah x4=156+1602=3162=158x_4=\frac{156+160}{2}=\frac{316}{2}=158

Nilai tengah kelas ke-5 adalah x5=161+1652=3262=163x_5=\frac{161+165}{2}=\frac{326}{2}=163

Nilai tengah kelas ke-6 adalah x6=166+1702=3362=168x_6=\frac{166+170}{2}=\frac{336}{2}=168

x=Σi=1kxifiΣi=1kfi\overline{x}=\frac{\Sigma_{i=1}^kx_if_i}{\Sigma_{i=1}^kf_i}

x=1432+1484+1538+15812+16310+168440\Leftrightarrow\overline{x}=\frac{143⋅2+148⋅4+153⋅8+158⋅12+163⋅10+168⋅4}{40}

x=286+592+1.224+1.896+1.630+67240\Leftrightarrow\overline{x}=\frac{286+592+1.224+1.896+1.630+672}{40}

x=6.30040\Leftrightarrow\overline{x}=\frac{6.300}{40}

x=157,5\Leftrightarrow\overline{x}=157,5

Menghitung Variansi

σ2=Σi=1kfi(xix)2Σi=1kfi\sigma^2=\frac{\Sigma_{i=1}^kf_i\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{\Sigma_{i=1}^kf_i}

σ2=2(143157,5)2+4(148157,5)2+8(153157,5)2+12(158157,5)2+10(163157,5)2+4(168157,5)240\Leftrightarrow\sigma^2=\frac{2⋅\left(143-157,5\right)^2+4⋅\left(148-157,5\right)^2+8⋅\left(153-157,5\right)^2+12⋅\left(158-157,5\right)^2+10⋅\left(163-157,5\right)^2+4⋅\left(168-157,5\right)^2}{40}

σ2=2(14,5)2+4(9,5)2+8(4,5)2+12(0,5)2+10(5,5)2+4(10,5)240\Leftrightarrow\sigma^2=\frac{2⋅\left(-14,5\right)^2+4⋅\left(-9,5\right)^2+8⋅\left(-4,5\right)^2+12⋅\left(0,5\right)^2+10⋅\left(5,5\right)^2+4⋅\left(10,5\right)^2}{40}

σ2=2(210,25)+4(90,25)+8(20,25)+12(0,25)+10(30,25)+4(110,25)40\Leftrightarrow\sigma^2=\frac{2\left(210,25\right)+4\left(90,25\right)+8\left(20,25\right)+12\left(0,25\right)+10\left(30,25\right)+4\left(110,25\right)}{40}

σ2=420,5+361+162+3+302,5+44140\Leftrightarrow\sigma^2=\frac{420,5+361+162+3+302,5+441}{40}

σ2=1.69040\Leftrightarrow\sigma^2=\frac{1.690}{40}

σ2=42,25\Leftrightarrow\sigma^2=42,25

atau dapat disajikan dalam tabel berikut ini.

Jadi, variansi dari data tersebut adalah 42,25.