Bank Soal Matematika SMA Persamaan Trigonometri

Diketahui:

$\sin2x+2\cos x=0$

$0\le x\le2\pi$

Ditanya:

Perbandingan nilai $x$ terkecil dan terbesar $=?$

Jawab:

Langkah-langkah menyelesaiakan persoalan di atas adalah sebagai berikut.

Ubah persamaan menjadi bentuk $\sin x=\sin\alpha$ atau $\cos x=\cos\alpha$

Ingat kembali bahwa $\sin2ax=2\sin ax\cos ax$ sehingga

$\sin2x=2\sin x\cos x$

Substitusikan ke persamaan awal sehingga diperoleh

$2\sin x\cos x+2\cos x=0$

$\cos x\left(2\sin x+2\right)=0$

$\cos x=0$ atau $\left(2\sin x+2\right)=0$

Untuk $\cos x=0$

$\cos x=0$

$\cos x=\cos\frac{\pi}{2}$

$\cos x=\cos\alpha$ memiliki dua kemungkinan yaitu

$x=\left\{\alpha+2\pi k\right\}$ atau $x=\left\{-\alpha+2\pi k\right\}$

Kemungkinan 1

$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$

untuk $k=0$ diperoleh

$x=\frac{\pi}{2}+2\pi\left(0\right)$

$x=\frac{\pi}{2}+0$

$x=\frac{\pi}{2}$

untuk $k=1$ diperoleh

$x=\frac{\pi}{2}+2\pi\left(1\right)$

$x=\frac{\pi}{2}+2\pi$

$x=\frac{5\pi}{2}$ (tidak memenuhi)

Kemungkinan 2

$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$

untuk $k=0$ diperoleh

$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi\left(0\right)$

$x=-\frac{\pi}{2}+0$

$x=-\frac{\pi}{2}$ (tidak memenuhi)

untuk $k=1$ diperoleh

$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi\left(1\right)$

$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi$

$x=\frac{3\pi}{2}$

untuk $k=2$ diperoleh

$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi\left(2\right)$

$x=-\frac{\pi}{2}+4\pi$

$x=\frac{7\pi}{2}$ (tidak memenuhi)

Untuk $\left(2\sin x+2\right)=0$

$2\sin x+2=0$

$2\sin x=-2$

$\sin x=-1$

$\sin x=\sin\frac{3\pi}{2}$

$\sin x=\sin\alpha$ memiliki dua kemungkinan yaitu

$x=\left\{\alpha+2\pi k\right\}$ atau $x=\left\{\left(\pi-\alpha\right)+2\pi k\right\}$

Kemungkinan 1

$x=\frac{3\pi}{2}+\left(2\pi k\right)$

untuk $k=0$ diperoleh

$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi\left(0\right)$

$x=\frac{3\pi}{2}+0$

$x=\frac{3\pi}{2}$

untuk $k=1$ diperoleh

$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi\left(1\right)$

$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi$

$x=\frac{7\pi}{2}$ (tidak memenuhi)

Kemungkinan 2

$x=\left(\pi-\frac{3\pi}{2}\right)+2\pi k$

$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$ yang sama dengan kemungkinan 2 pada $\cos x=\cos\alpha$

Sehingga diperoleh nilai $x$ adalah $\frac{\pi}{2}$ dan $\frac{3\pi}{2}$

Jadi, perbandingan nilai $x$ terkecil dan terbesar adalah $1:3$