Bank Soal Matematika SMA Persamaan Trigonometri

Diketahui:

$\sin4x-\cos2x=0$

$0\degree\le x\le180\degree$

Ditanya:

$x=?$

Jawab:

Langkah-langkah menyelesaikan persoalan di atas adalah sebagai berikut.

Ubah persamaan menjadi bentuk $\sin x=\sin\alpha\degree$ atau $\cos x=\cos\alpha\degree$

Ingat kembali bahwa $\sin2ax=2\sin ax\cos ax$ sehingga

$\sin4x=2\sin2x\cos2x$

Substitusikan ke persamaan awal sehingga diperoleh

$\left(2\sin2x\cos2x\right)-\cos2x=0$

$\cos2x\left(2\sin2x-1\right)=0$

$\cos2x=0$ atau $2\sin2x-1=0$

Untuk $\cos2x=0$

$\cos2x=0$

$\cos2x=\cos90\degree$

$\cos x=\cos\alpha\degree$ memiliki dua kemungkinan yaitu

$x=\left\{\alpha\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}$ atau $x=\left\{-\alpha\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}$

Kemungkinan 1

$2x=90\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree$

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{2}$

$x=45\degree+\left(180\ .\ k\right)\degree$

untuk $k=0$ diperoleh

$x=45\degree+\left(180\ .\ 0\right)\degree$

$x=45\degree+0\degree$

$x=45\degree$

untuk $k=1$ diperoleh

$x=45\degree+\left(180\ .\ 1\right)\degree$

$x=45\degree+180\degree$

$x=225\degree$ (tidak memenuhi)

Kemungkinan 2

$2x=-90\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree$

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{2}$

$x=-45\degree+\left(180\ .\ k\right)\degree$

untuk $k=0$ diperoleh

$x=-45\degree+\left(180\ .\ 0\right)\degree$

$x=-45\degree+0\degree$

$x=-45\degree$ (tidak memenuhi)

untuk $k=1$ diperoleh

$x=-45\degree+\left(180\ .\ 1\right)\degree$

$x=-45\degree+180\degree$

$x=135\degree$

untuk $k=2$ diperoleh

$x=-45\degree+\left(180\ .\ 2\right)\degree$

$x=-45\degree+360\degree$

$x=315\degree$ (tidak memenuhi)

Untuk $2\sin2x-1=0$

$2\sin2x-1=0$

$2\sin2x=1$

$\sin2x=\frac{1}{2}$

$\sin2x=\sin30\degree$

$\sin x=\sin\alpha\degree$ memiliki dua kemungkinan yaitu

$x=\left\{\alpha\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}$ atau $x=\left\{\left(180-\alpha\right)\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}$

Kemungkinan 1

$2x=30\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree$

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{2}$

$x=15\degree+\left(180\ .\ k\right)\degree$

untuk $k=0$ diperoleh

$x=15\degree+\left(180\ .\ 0\right)\degree$

$x=15\degree+0\degree$

$x=15\degree$

untuk $k=1$ diperoleh

$x=15\degree+\left(180\ .\ 1\right)\degree$

$x=15\degree+180\degree$

$x=195\degree$ (tidak memenuhi)

Kemungkinan 2

$2x=\left(180-30\right)\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree$

$2x=150\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree$

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{2}$

$x=75\degree+\left(180\ .\ k\right)\degree$

untuk $k=0$ diperoleh

$x=75\degree+\left(180\ .\ 0\right)\degree$

$x=75\degree+0\degree$

$x=75\degree$

untuk $k=1$ diperoleh

$x=75\degree+\left(180\ .\ 1\right)\degree$

$x=75\degree+180\degree$

$x=255\degree$ (tidak memenuhi)

Jadi, $x$ yang memenuhi persamaan trigonometri adalah $\left\{15\degree,45\degree,75\degree,135\degree\right\}$