Bank Soal Matematika SMA Persamaan Trigonometri

Diketahui:

$\sqrt{2}\sin^2x+\left(2\sqrt{2}-1\right)\sin x-2=0$

$0\degree\le x\le360\degree$

Ditanya:

$x=?$

Jawab:

Langkah-langkah menyelesaikan persoalan di atas adalah sebagai berikut.

Mencari akar-akar persamaan kuadrat

$\sqrt{2}\sin^2x+\left(2\sqrt{2}-1\right)\sin x-2=0$

$\sqrt{2}\sin^2x+2\sqrt{2}\sin x-\sin x-2=0$

$\left(\sqrt{2}\sin x-1\right)\left(\sin x+2\right)=0$

$\left(\sqrt{2}\sin x-1\right)=0$ atau $\left(\sin x+2\right)=0$

$\sqrt{2}\sin x-1=0$

$\sqrt{2}\sin x=1$

$\sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$\sin x=\frac{1}{2}\sqrt{2}$ atau

$\sin x+2=0$

$\sin x=-2$

Karena nilai sinus berada pada interval $-1\le\sin x\le1$ , maka $\sin x=-2$ tidak memenuhi

Mencari himpunan penyelesaian dalam derajat

$\sin x=\ \frac{1}{2}\sqrt{2}$

$\sin x=\ \sin45\degree$

$\sin x=\sin\alpha\degree$ memiliki dua kemungkinan yaitu

$x=\left\{\alpha\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}$ atau $x=\left\{\left(180-\alpha\right)\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree\right\}$

Kemungkinan 1

$x=\ 45\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree$

untuk $k=0$ diperoleh

$x=\ 45\degree+\left(360\ .\ 0\right)\degree$

$x=\ 45\degree+0\degree$

$x=\ 45\degree$

untuk $k=1$ diperoleh

$x=\ 45\degree+\left(360\ .\ 1\right)\degree$

$x=\ 45\degree+360\degree$

$x=\ 405\degree$ (tidak memenuhi)

Kemungkinan 2

$x=\left(180-45\right)\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree$

$x=135\degree+\left(360\ .\ k\right)\degree$

untuk $k=0$ diperoleh

$x=135\degree+\left(360\ .\ 0\right)\degree$

$x=135\degree+0\degree$

$x=135\degree$

untuk $k=1$ diperoleh

$x=135\degree+\left(360\ .\ 1\right)\degree$

$x=135\degree+360\degree$

$x=495\degree$ (tidak memenuhi)

Jadi, $x$ yang memenuhi adalah $\left\{45\degree,135\degree\right\}$