Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Soal

Pilgan

Diketahui pertidaksamaan x26xx20\sqrt{x^2-6x}-x-2\ge0. Solusi pertidaksamaan tersebut jika dinyatakan dalam bentuk interval adalah ....

A

(, 0)\left(-\infty,\ 0\right)

B

(, 25][6, ) \left(-\infty,\ -\frac{2}{5}\right]\cup\left[6,\ \infty\right)\

C

(, 0][25, 6]\left(-\infty,\ 0\right]\cup\left[-\frac{2}{5},\ 6\right]

D

[25, 0][6, ) \left[-\frac{2}{5},\ 0\right]\cup\left[6,\ \infty\right)\

E

(, 25] \left(-\infty,\ -\frac{2}{5}\right]\

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan x26xx20\sqrt{x^2-6x}-x-2\ge0

Ditanya:

Solusi dari pertidaksamaan tersebut dalam bentuk interval?

Jawab:

Pertidaksamaan irasional memiliki bentuk umum

f(x)g(x), f(x)<g(x), f(x)g(x), \sqrt{f\left(x\right)}\le\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}\ge\sqrt{g\left(x\right)},\ maupun f(x)>g(x)\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}

dengan f(x)f\left(x\right) dan g(x)g\left(x\right) berupa konstanta maupun polinom serta ruas kanan bisa juga bukan dalam bentuk akar.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional adalah

  1. Mencari syarat akar / numerusnya, yaitu f(x)0f\left(x\right)\ge0 dan g(x)0g\left(x\right)\ge0
  2. Mengkuadratkan kedua ruas, kemudian selesaikan
  3. Penyelesaiannya merupakan irisan dari bagian 1 dan 2

Pada soal diketahui pertidaksamaan irasional

x26xx20\sqrt{x^2-6x}-x-2\ge0

x26xx+2\Leftrightarrow\sqrt{x^2-6x}\ge x+2 . . . (1)

artinya f(x)=x26xf\left(x\right)=x^2-6x dan g(x)=x+2g\left(x\right)=x+2

Akan dicari syarat akarnya diperoleh

f(x)0f(x)\ge0

x26x0\Leftrightarrow x^2-6x\ge0 . . . (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

ax2+bx+c<0, ax2+bx+c0, ax2+bx+c>0, atau ax2+bx+c0ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0

dengan a, b, ca,\ b,\ c merupakan konstanta dan a0a\ne0.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

  1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien x2x^2 positif.
  2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
  3. Misalkan x1x_1 dan x2x_2 merupakan pembuat nolnya dengan x1<x2x_1<x_2 maka penyelesaiannya adalah
  • xx1x\le x_1 atau xx2x\ge x_2, untuk tanda pertidaksamaan \ge (atau >> dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
  • x1xx2x_1\le x\le x_2, untuk tanda pertidaksamaan \le (atau << dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien x2x^2 positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (2), diperoleh

x26x=0x^2-6x=0

Perlu diingat sifat distributif juga operasi aljabar sebagai berikut:

Untuk sembarang bilangan a, b,a,\ b, dan cc berlaku (a+b).c=a.c+b.c\left(a+b\right).c=a.c+b.c

Didapat

x26x=0x^2-6x=0

x(x6)=0\Leftrightarrow x\left(x-6\right)=0

Artinya,

x=0x=0 atau

x6=0x=6x-6=0\Leftrightarrow x=6

Karena pembuat nolnya adalah 00 dan 66 dengan 0<60<6 serta tanda pertidaksamaan (2) adalah \ge maka penyelesaian pertidaksamaan (2) adalah x0x\le0 atau x6x\ge6 . . . (3).

Kemudian kuadratkan kedua ruas lalu selesaikan, didapat

(x26x)2(x+2)2\left(\sqrt{x^2-6x}\right)^2\ge\left(x+2\right)^2

x26xx2+4x+4\Leftrightarrow x^2-6x\ge x^2+4x+4

0x2+4x+4x2+6x\Leftrightarrow0\ge x^2+4x+4-x^2+6x

0x2x2+4x+6x+4\Leftrightarrow0\ge x^2-x^2+4x+6x+4

010x+4\Leftrightarrow0\ge10x+4

410x\Leftrightarrow-4\ge10x

410x\Leftrightarrow\frac{-4}{10}\ge x

25x\Leftrightarrow-\frac{2}{5}\ge x . . . (4)

Solusi pertidaksamaan (1) yang diberikan pada soal adalah yang memenuhi kondisi (3) dan (4). Diperhatikan garis bilangan berikut

Jadi solusi dari pertidaksamaan pada soal jika dinyatakan dalam bentuk interval adalah (, 25] \left(-\infty,\ -\frac{2}{5}\right]\

K13 Kelas X Matematika Aljabar Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Vari... Pertidaksamaan Irasional Skor 2
Matematika Wajib Teknik Hitung LOTS
Video
11 Januari 2022
Pertidaksamaan Irasional | Matematika Wajib | Kelas X
Rangkuman
08 April 2020
Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal