Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $\sqrt{x^2-6x}-x-2\ge0$

Ditanya:

Solusi dari pertidaksamaan tersebut dalam bentuk interval?

Jawab:

Pertidaksamaan irasional memiliki bentuk umum

$\sqrt{f\left(x\right)}\le\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}\ge\sqrt{g\left(x\right)},\$ maupun $\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom serta ruas kanan bisa juga bukan dalam bentuk akar.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional adalah

1. Mencari syarat akar / numerusnya, yaitu $f\left(x\right)\ge0$ dan $g\left(x\right)\ge0$
2. Mengkuadratkan kedua ruas, kemudian selesaikan
3. Penyelesaiannya merupakan irisan dari bagian 1 dan 2

Pada soal diketahui pertidaksamaan irasional

$\sqrt{x^2-6x}-x-2\ge0$

$\Leftrightarrow\sqrt{x^2-6x}\ge x+2$ . . . (1)

artinya $f\left(x\right)=x^2-6x$ dan $g\left(x\right)=x+2$

Akan dicari syarat akarnya diperoleh

$f(x)\ge0$

$\Leftrightarrow x^2-6x\ge0$ . . . (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien $x^2$ positif.
2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
3. Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan pembuat nolnya dengan $x_1<x_2$ maka penyelesaiannya adalah

• $x\le x_1$ atau $x\ge x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\ge$ (atau $>$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
• $x_1\le x\le x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\le$ (atau $<$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien $x^2$ positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (2), diperoleh

$x^2-6x=0$

Perlu diingat sifat distributif juga operasi aljabar sebagai berikut:

Untuk sembarang bilangan $a,\ b,$ dan $c$ berlaku $\left(a+b\right).c=a.c+b.c$

Didapat

$x^2-6x=0$

$\Leftrightarrow x\left(x-6\right)=0$

Artinya,

$x=0$ atau

$x-6=0\Leftrightarrow x=6$

Karena pembuat nolnya adalah $0$ dan $6$ dengan $0<6$ serta tanda pertidaksamaan (2) adalah $\ge$ maka penyelesaian pertidaksamaan (2) adalah $x\le0$ atau $x\ge6$ . . . (3).

Kemudian kuadratkan kedua ruas lalu selesaikan, didapat

$\left(\sqrt{x^2-6x}\right)^2\ge\left(x+2\right)^2$

$\Leftrightarrow x^2-6x\ge x^2+4x+4$

$\Leftrightarrow0\ge x^2+4x+4-x^2+6x$

$\Leftrightarrow0\ge x^2-x^2+4x+6x+4$

$\Leftrightarrow0\ge10x+4$

$\Leftrightarrow-4\ge10x$

$\Leftrightarrow\frac{-4}{10}\ge x$

$\Leftrightarrow-\frac{2}{5}\ge x$ . . . (4)

Solusi pertidaksamaan (1) yang diberikan pada soal adalah yang memenuhi kondisi (3) dan (4). Diperhatikan garis bilangan berikut

Jadi solusi dari pertidaksamaan pada soal jika dinyatakan dalam bentuk interval adalah $\left(-\infty,\ -\frac{2}{5}\right]\$