Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $\sqrt{2x-1}-\sqrt{2-x}\ge0$

Ditanya:

Semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut?

Jawab:

Pertidaksamaan irasional memiliki bentuk umum

$\sqrt{f\left(x\right)}\le\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}\ge\sqrt{g\left(x\right)},\$ maupun $\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom serta ruas kanan bisa juga bukan dalam bentuk akar.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional adalah

1. Mencari syarat akar / numerusnya, yaitu $f\left(x\right)\ge0$ dan $g\left(x\right)\ge0$
2. Mengkuadratkan kedua ruas, kemudian selesaikan
3. Penyelesaiannya merupakan irisan dari bagian 1 dan 2

Pada soal diketahui pertidaksamaan irasional

$\sqrt{2x-1}-\sqrt{2-x}\ge0$

$\Leftrightarrow\sqrt{2x-1}\ge\sqrt{2-x}$ . . . (1)

artinya $f\left(x\right)=2x-1$ dan $g\left(x\right)=2-x$

Akan dicari syarat akarnya. Untuk $f\left(x\right)$ diperoleh

$f\left(x\right)\ge0$

$\Leftrightarrow2x-1\ge0$

$\Leftrightarrow2x\ge1$

$\Leftrightarrow x\ge\frac{1}{2}$ . . . (2)

Untuk $g\left(x\right)$ diperoleh

$g\left(x\right)\ge0$

$\Leftrightarrow2-x\ge0$

$\Leftrightarrow2\ge x$ . . . (3)

Kemudian kuadratkan kedua ruas lalu selesaikan, didapat

$\left(\sqrt{2x-1}\right)^2\ge\left(\sqrt{2-x}\right)^2$

$\Leftrightarrow2x-1\ge2-x$

$\Leftrightarrow2x+x\ge2+1$

$\Leftrightarrow3x\ge3$

$\Leftrightarrow x\ge\frac{3}{3}$

$\Leftrightarrow x\ge1$ . . . (4)

Solusi pertidaksamaan (1) yang diberikan pada soal adalah yang memenuhi kondisi (2), (3), dan (4). Diperhatikan faris bilangan berikut

Jadi semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah $1\le x\le2$