Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $\sqrt{x^2-5x+4}>\sqrt{x-5}$

Ditanya:

Nilai $x$ yang merupakan solusi dari pertidaksamaan tersebut?

Jawab:

Pertidaksamaan irasional memiliki bentuk umum

$\sqrt{f\left(x\right)}\le\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}\ge\sqrt{g\left(x\right)},\$ maupun $\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom serta ruas kanan bisa juga bukan dalam bentuk akar.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional adalah

1. Mencari syarat akar / numerusnya, yaitu $f\left(x\right)\ge0$ dan $g\left(x\right)\ge0$
2. Mengkuadratkan kedua ruas, kemudian selesaikan
3. Penyelesaiannya merupakan irisan dari bagian 1 dan 2

Pada soal diketahui pertidaksamaan irasional

$\sqrt{x^2-5x+4}>\sqrt{x-5}$ . . . (1)

artinya $f\left(x\right)=x^2-5x+4$ dan $g\left(x\right)=x-5$

Akan dicari syarat akarnya. Untuk $f\left(x\right)$ diperoleh

$f(x)\ge0$

$\Leftrightarrow x^2-5x+4\ge0$ . . . (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien $x^2$ positif.
2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
3. Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan pembuat nolnya dengan $x_1<x_2$ maka penyelesaiannya adalah

• $x\le x_1$ atau $x\ge x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\ge$ (atau $>$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
• $x_1\le x\le x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\le$ (atau $<$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien $x^2$ positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (2), diperoleh

$x^2-5x+4=0$

Nilai $p,\ q$ sehingga $p+q=-5$ dan $pq=3$ adalah $p=-1$ dan $q=-4$. Didapat

$x^2-5x+4=0$

$\Leftrightarrow\left(x+p\right)\left(x+q\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-4\right)=0$

Artinya,

$x-1=0\Leftrightarrow x=1$ atau

$x-4=0\Leftrightarrow x=4$

Karena pembuat nolnya adalah $1$ dan $4$ dengan $1<4$ serta tanda pertidaksamaan (2) adalah $\ge$ maka penyelesaian pertidaksamaan (2) adalah $x\le1$ atau $x\ge4$ . . . (3).

Syarat akar untuk $g\left(x\right)$ diperoleh

$g\left(x\right)\ge0$

$\Leftrightarrow x-5\ge0$

$\Leftrightarrow x\ge5$ . . . (4)

Kemudian kuadratkan kedua ruas lalu selesaikan, didapat

$\left(\sqrt{x^2-5x+4}\right)^2>\left(\sqrt{x-5}\right)^2$

$\Leftrightarrow x^2-5x+4>x-5$

$\Leftrightarrow x^2-5x+4-x+5>0$

$\Leftrightarrow x^2-5x-x+4+5>0$

$\Leftrightarrow x^2-6x+9>0$ . . . (5)

Pertidaksamaan (5) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Akan dicari harga nol pertidaksamaan tersebut, didapat

$x^2-6x+9=0$

Nilai $p,\ q$ sehingga $p+q=-6$ dan $pq=9$ adalah $p=-3$ dan $q=-3$. Didapat

$x^2-6x+9=0$

$\Leftrightarrow\left(x+p\right)\left(x+q\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x-3\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=0$

Perlu diingat untuk setiap bilangan real $x$ berlaku $x^2\ge0$ . Artinya $\left(x-3\right)^2=0$ ketika

$x-3=0\Leftrightarrow x=3$

Dengan kata lain, solusi dari pertidaksamaan (5) adalah setiap bilangan real $x$ kecuali $3$ . . . (6)

Solusi pertidaksamaan (1) yang diberikan pada soal adalah yang memenuhi kondisi (3), (4), dan (6). Diperhatikan garis bilangan berikut

Jadi semua nilai $x$ yang merupakan solusi dari pertidaksamaan pada soal adalah $x\le1$ atau $x\ge5$