Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $\sqrt{x^2-4x+3}\le x+1$

Ditanya:

Batasan nilai $x$ yang merupakan solusi dari pertidaksamaan tersebut?

Jawab:

Pertidaksamaan irasional memiliki bentuk umum

$\sqrt{f\left(x\right)}\le\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}\ge\sqrt{g\left(x\right)},\$ maupun $\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom serta ruas kanan bisa juga bukan dalam bentuk akar.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional adalah

1. Mencari syarat akar / numerusnya, yaitu $f\left(x\right)\ge0$ dan $g\left(x\right)\ge0$
2. Mengkuadratkan kedua ruas, kemudian selesaikan
3. Penyelesaiannya merupakan irisan dari bagian 1 dan 2

Pada soal diketahui pertidaksamaan irasional

$\sqrt{x^2-4x+3}\le x+1$ . . . (1)

artinya $f\left(x\right)=x^2-4x+3$ dan $g\left(x\right)=x+1$

Akan dicari syarat akarnya diperoleh

$f(x)\ge0$

$\Leftrightarrow x^2-4x+3\ge0$ . . . (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien $x^2$ positif.
2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
3. Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan pembuat nolnya dengan $x_1<x_2$ maka penyelesaiannya adalah

• $x\le x_1$ atau $x\ge x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\ge$ (atau $>$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
• $x_1\le x\le x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\le$ (atau $<$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien $x^2$ positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (2), diperoleh

$x^2-4x+3=0$

Nilai $p,\ q$ sehingga $p+q=-4$ dan $pq=3$ adalah $p=-1$ dan $q=-3$. Didapat

$x^2-4x+3=0$

$\Leftrightarrow\left(x+p\right)\left(x+q\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0$ . . . (3)

Artinya,

$x-1=0\Leftrightarrow x=1$ atau

$x-3=0\Leftrightarrow x=3$

Karena pembuat nolnya adalah $1$ dan $3$ dengan $1<3$ serta tanda pertidaksamaan (2) adalah $\ge$ maka penyelesaian pertidaksamaan (2) adalah $x\le1$ atau $x\ge3$ (*).

Kemudian kuadratkan kedua ruas lalu selesaikan, didapat

$\left(\sqrt{x^2-4x+3}\right)^2\le\left(x+1\right)^2$

$\Leftrightarrow x^2-4x+3\le x^2+2x+1$

$\Leftrightarrow x^2-4x+3-x^2-2x-1\le0$

$\Leftrightarrow x^2-x^2-4x-2x+3-1\le0$

$\Leftrightarrow-6x+2\le0$

$\Leftrightarrow2\le6x$

$\Leftrightarrow\frac{2}{6}\le x$

$\Leftrightarrow\frac{1}{3}\le x$ . . . (**)

Solusi pertidaksamaan (1) yang diberikan pada soal adalah yang memenuhi kondisi (*) dan (**). Diperhatikan garis bilangan berikut

Jadi batasan nilai $x$ yang merupakan solusi dari pertidaksamaan $\sqrt{x^2-4x+3}\le x+1$ adalah $\frac{1}{3}\le x\le1$ atau $x\ge3$