Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Soal

Pilgan

Batasan nilai xx yang merupakan solusi dari pertidaksamaan x24x+3x+1\sqrt{x^2-4x+3}\le x+1 adalah ....

A

13x<1\frac{1}{3}\le x<1

B

13x1\frac{1}{3}\le x\le1 atau x3x\ge3

C

1x31\le x\le3

D

13x3\frac{1}{3}\le x\le3

E

13<x1\frac{1}{3}<x\le1 atau x3x\ge3

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan x24x+3x+1\sqrt{x^2-4x+3}\le x+1

Ditanya:

Batasan nilai xx yang merupakan solusi dari pertidaksamaan tersebut?

Jawab:

Pertidaksamaan irasional memiliki bentuk umum

f(x)g(x), f(x)<g(x), f(x)g(x), \sqrt{f\left(x\right)}\le\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}\ge\sqrt{g\left(x\right)},\  maupun f(x)>g(x)\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}

dengan f(x)f\left(x\right) dan g(x)g\left(x\right) berupa konstanta maupun polinom serta ruas kanan bisa juga bukan dalam bentuk akar.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional adalah

  1. Mencari syarat akar / numerusnya, yaitu f(x)0f\left(x\right)\ge0 dan g(x)0g\left(x\right)\ge0
  2. Mengkuadratkan kedua ruas, kemudian selesaikan
  3. Penyelesaiannya merupakan irisan dari bagian 1 dan 2

Pada soal diketahui pertidaksamaan irasional

x24x+3x+1\sqrt{x^2-4x+3}\le x+1 . . . (1)

artinya f(x)=x24x+3f\left(x\right)=x^2-4x+3 dan g(x)=x+1g\left(x\right)=x+1

Akan dicari syarat akarnya diperoleh

f(x)0f(x)\ge0

x24x+30\Leftrightarrow x^2-4x+3\ge0 . . . (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

ax2+bx+c<0, ax2+bx+c0, ax2+bx+c>0, atau ax2+bx+c0ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0

dengan a, b, ca,\ b,\ c merupakan konstanta dan a0a\ne0.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

  1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien x2x^2 positif.
  2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
  3. Misalkan x1x_1 dan x2x_2 merupakan pembuat nolnya dengan x1<x2x_1<x_2 maka penyelesaiannya adalah
  • xx1x\le x_1 atau xx2x\ge x_2, untuk tanda pertidaksamaan \ge (atau >> dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
  • x1xx2x_1\le x\le x_2, untuk tanda pertidaksamaan \le (atau << dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien x2x^2 positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (2), diperoleh

x24x+3=0x^2-4x+3=0

Nilai p, qp,\ q sehingga p+q=4p+q=-4 dan pq=3pq=3 adalah p=1p=-1 dan q=3q=-3. Didapat

x24x+3=0x^2-4x+3=0

(x+p)(x+q)=0\Leftrightarrow\left(x+p\right)\left(x+q\right)=0

(x1)(x3)=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0 . . . (3)

Artinya,

x1=0x=1x-1=0\Leftrightarrow x=1 atau

x3=0x=3x-3=0\Leftrightarrow x=3

Karena pembuat nolnya adalah 11 dan 33 dengan 1<31<3 serta tanda pertidaksamaan (2) adalah \ge maka penyelesaian pertidaksamaan (2) adalah x1x\le1 atau x3x\ge3 (*).

Kemudian kuadratkan kedua ruas lalu selesaikan, didapat

(x24x+3)2(x+1)2\left(\sqrt{x^2-4x+3}\right)^2\le\left(x+1\right)^2

x24x+3x2+2x+1\Leftrightarrow x^2-4x+3\le x^2+2x+1

x24x+3x22x10\Leftrightarrow x^2-4x+3-x^2-2x-1\le0

x2x24x2x+310\Leftrightarrow x^2-x^2-4x-2x+3-1\le0

6x+20\Leftrightarrow-6x+2\le0

26x\Leftrightarrow2\le6x

26x\Leftrightarrow\frac{2}{6}\le x

13x\Leftrightarrow\frac{1}{3}\le x . . . (**)

Solusi pertidaksamaan (1) yang diberikan pada soal adalah yang memenuhi kondisi (*) dan (**). Diperhatikan garis bilangan berikut

Jadi batasan nilai xx yang merupakan solusi dari pertidaksamaan x24x+3x+1\sqrt{x^2-4x+3}\le x+1 adalah 13x1\frac{1}{3}\le x\le1 atau x3x\ge3


K13 Kelas X Matematika Aljabar Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Vari... Pertidaksamaan Irasional Skor 2
Matematika Wajib Teknik Hitung LOTS Video
Video
11 Januari 2022
Pertidaksamaan Irasional | Matematika Wajib | Kelas X
Rangkuman
08 April 2020
Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal