Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $\sqrt{2x-6}>\sqrt{x}$

Ditanya:

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut?

Jawab:

Pertidaksamaan irasional memiliki bentuk umum

$\sqrt{f\left(x\right)}\le\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}\ge\sqrt{g\left(x\right)},\$ maupun $\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom serta ruas kanan bisa juga bukan dalam bentuk akar.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional adalah

1. Mencari syarat akar / numerusnya, yaitu $f\left(x\right)\ge0$ dan $g\left(x\right)\ge0$
2. Mengkuadratkan kedua ruas, kemudian selesaikan
3. Penyelesaiannya merupakan irisan dari bagian 1 dan 2

Pada soal diketahui pertidaksamaan irasional

$\sqrt{2x-6}>\sqrt{x}$ . . . (1)

artinya $f\left(x\right)=2x-6$ dan $g\left(x\right)=x$

Akan dicari syarat akarnya. Untuk $f\left(x\right)$ diperoleh

$f\left(x\right)\ge0$

$\Leftrightarrow2x-6\ge0$

$\Leftrightarrow2x\ge6$

$\Leftrightarrow x\ge\frac{6}{2}$

$\Leftrightarrow x\ge3$ . . . (2)

Untuk $g\left(x\right)$ diperoleh

$g\left(x\right)\ge0$

$\Leftrightarrow x\ge0$ . . . (3)

Kemudian kuadratkan kedua ruas lalu selesaikan, didapat

$\left(\sqrt{2x-6}\right)^2\le\left(\sqrt{x}\right)^2$

$\Leftrightarrow2x-6\le x$

$\Leftrightarrow2x-x\le6$

$\Leftrightarrow x\le6$ . . . (4)

Solusi pertidaksamaan (1) yang diberikan pada soal adalah yang memenuhi kondisi (2), (3), dan (4). Diperhatikan garis bilangan berikut

Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan pada soal adalah { $x\in$ R $\mid3\le x\le6$ }