Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Rasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{9-3x}{4x+12}>0$ mempunyai solusi $a<x<b$

Ditanya:

Nilai $2a+b$ ?

Jawab:

Pertidaksamaan pada soal merupakan pertidaksamaan rasional linear. Perlu diingat pertidaksamaan rasional linear mempunyai bentuk umum

$\frac{ax+b}{cx+d}<n,\ \frac{ax+b}{cx+d}\le n,\ \frac{ax+b}{cx+d}>,$ atau $\frac{ax+b}{cx+d}\ge n$

dengan $a,\ b,\ c,\ d,\text{ dan }n$ merupakan bilangan.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan rasional linear adalah dengan

1. Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian mencari nilai nol untuk pembilang maupun penyebut. Perlu diingat bahwa penyebut tidak boleh sama dengan nol.
2. Mencari nilai $x$ yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Pada soal diketahui pertidaksamaan

$\frac{9-3x}{4x+12}>0$ . . . (*)

Akan dicari harga nol dari pertidaksamaan (*), didapat

$\frac{9-3x}{4x+12}=0$ . . . (**)

Untuk pembilang diperoleh

$9-3x=0$

$\Leftrightarrow9=3x$

$\Leftrightarrow\frac{9}{3}=x$

$\Leftrightarrow3=x$

Untuk penyebut diperoleh

$4x+12=0$

$\Leftrightarrow4x=-12$

$\Leftrightarrow x=\frac{-12}{4}$

$\Leftrightarrow x=-3$

Karena $x=-3$ diperoleh dari penyebut dan penyebut tidak boleh sama dengan nol, maka $x=-3$ tidak memenuhi pertidaksamaan (*).

Untuk $x<-3$, diambil sebagai sampel $x=-4$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (**) diperoleh

$\frac{9-3(-4)}{4\left(-4\right)+12}=\frac{9+12}{-16+12}=\frac{21}{-4}=-\frac{21}{4}<0$ (bernilai negatif).

Untuk $-3<x<3$, diambil sebagai sampel $x=0$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (**) diperoleh

$\frac{9-3(0)}{4\left(0\right)+12}=\frac{9-0}{0+12}=\frac{9}{12}>0$ (bernilai positif).

Untuk $x>3$, diambil sebagai sampel $x=4$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (**) diperoleh

$\frac{9-3(4)}{4\left(4\right)+12}=\frac{9-12}{16+12}=\frac{-3}{28}=-\frac{3}{28}<0$ (bernilai negatif).

Pengecekan ketiga kemungkinan tersebut dapat disajikan dalam garis bilangan berikut:

Pertidaksamaan (*) memiliki tanda $>$. Artinya nilai $x$ yang sesuai adalah yang menghasilkan nilai positif

Karena pertidaksamaan (*) tidak memuat sama dengan, maka $x=3$ tidak memenuhi pertidaksamaan (*). Artinya solusi dari pertidaksamaan yang diberikan adalah $-3<x<3$. Dengan kata lain, $a=-3$ dan $b=3$. Diperoleh

$2a+b=2\left(-3\right)+3=-6+3=-3$