Bank Soal Matematika SMA Operasi Invers Komposisi Fungsi

Diketahui:

Fungsi $f$ dan $g$ seperti pada grafik berikut.

Ditanya:

Invers dari $\left(f\circ g\right)\left(x\right)$ ?

Jawab:

Secara umum, persamaan fungsi linear yang melewati titik $\left(x_1,\ y_1\right)$ dan $\left(x_2,\ y_2\right)$ adalah

$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$ dengan 

Berdasarkan gambar, fungsi $f$ melalui titik $\left(-1,0\right)$ dan $\left(0,1\right)$ sehingga $x_1=-1,\ y_1=0,\ x_2=0,\ y_2=1$. Diperoleh

$\frac{y-0}{1-0}=\frac{x-\left(-1\right)}{0-\left(-1\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{y}{1}=\frac{x+1}{1}$

$\Leftrightarrow y=x+1$

Artinya $f\left(x\right)=x+1$

Secara umum, persamaan parabola yang memotong sumbu-$X$ di titik $\left(x_1,0\right)$ dan $\left(x_2,0\right)$ memiliki persamaan $y=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$

Berdasarkan gambar terlihat bahwa grafik fungsi $g\left(x\right)$ merupakan yang memotong sumbu-$X$ di titik $\left(1,0\right)$ dan $\left(3,0\right)$. Artinya fungsi tersebut memenuhi persamaan

$y=a\left(x-1\right)\left(x-3\right)$ dengan $y=g\left(x\right)$

Fungsi $g\left(x\right)$ juga melalui titik $\left(0,3\right)$ artinya

$3=a\left(0-1\right)\left(0-3\right)$

$\Leftrightarrow3=a\left(0-1\right)\left(0-3\right)$

$\Leftrightarrow3=a\left(-1\right)\left(-3\right)$

$\Leftrightarrow3=3a$

$\Leftrightarrow\frac{3}{3}=a$

$\Leftrightarrow1=a$

Dengan demikian fungsi $g$ memiliki persamaan $g\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)$.

Perlu diingat pula definisi komposisi dua fungsi sebagai berikut:

Diberikan dua fungsi $f$ dan $g$, fungsi $f\circ g$ didefinisikan sebagai $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$.

Dengan kata lain, fungsi $g$ dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya digunakan untuk mengerjakan fungsi $f$.

Berdasarkan definisi komposisi dua fungsi, diperoleh

$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$

Berdasarkan definisi fungsi $g$ diperoleh

$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(\left(x-1\right)\left(x-3\right)\right)$

$\Leftrightarrow\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(x^2-4x+3\right)$

Berdasarkan definisi fungsi $f$ diperoleh

$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=\left(x^2-4x+3\right)+1$

$\Leftrightarrow\left(f\circ g\right)\left(x\right)=x^2-4x+4$

Selanjutnya, perlu diingat definisi fungsi invers berikut.

Diberikan fungsi $f$. Invers dari $f$ dinotasikan dengan $f^{-1}$ yaitu suatu fungsi yang memenuhi

$f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=x$ untuk semua $x$ di dalam domain $f^{-1}$ dan

$f^{-1}\left(f\left(x\right)\right)=x$ untuk semua $x$ di dalam domain $f$.

Atau dapat juga didefinisikan, jika $f\left(x\right)=y$, maka $f^{-1}\left(y\right)=x$.

Dimisalkan $\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)=y$, maka $\left(f\circ g\right)\left(y\right)=x$

Berdasarkan definisi $\left(f\circ g\right)$ diperoleh

$y^2-4y+4=x$

$\Leftrightarrow\left(y-2\right)^2=x$

$\Leftrightarrow y-2=\pm\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow y=2\pm\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)=2\pm\sqrt{x}$

Perlu diingat bahwa secara umum invers dari komposisi $\left(f\circ g\right)\left(x\right)$ memenuhi sifat

$\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)=\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\left(x\right)$.

Dengan kata lain, invers dari komposisi dapat dicari dengan menentukan invers dari masing-masing fungsi kemudian dikomposisikan.

Oleh karena itu, diperoleh

$\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\left(x\right)=2\pm\sqrt{x}$