Bank Soal Matematika Wajib SMA Operasi Invers Komposisi Fungsi

Soal

Pilihan Ganda

Diketahui fungsi f(x1)=3x1f(x-1)=3x-1 dan g(x+1)=x2x+2,x2g(x+1)=\frac{x-2}{x+2}, x\neq -2. Invers dari (gf)(x)(g\circ f)(x) adalah ....

A

3x+133x\frac{3x+1}{3-3x}

B

3x133x\frac{3x-1}{3-3x}

C

13x33x\frac{1-3x}{3-3x}

D

3x+13x3\frac{3x+1}{3x-3}

E

3x+13x+3\frac{3x+1}{3x+3}

Pembahasan:

Diketahui:

Fungsi f(x1)=3x1f(x-1)=3x-1 dan g(x+1)=x2x+2,x2g(x+1)=\frac{x-2}{x+2}, x\neq -2.

Ditanya:

Invers dari (gf)(x)=?(g\circ f)(x)=?

Jawab:

Definisi komposisi dua fungsi sebagai berikut:

Diberikan dua fungsi ff dan gg, fungsi fgf\circ g didefinisikan sebagai (fg)(x)=f(g(x))\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right).

Dengan kata lain, fungsi gg dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya digunakan untuk mengerjakan fungsi ff.

Selanjutnya, perlu diingat definisi fungsi invers berikut.

Diberikan fungsi ff. Invers dari ff dinotasikan dengan f1f^{-1} yaitu suatu fungsi yang memenuhi

f(f1(x))=xf\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=x untuk semua xx di dalam domain f1f^{-1} dan

f1(f(x))=xf^{-1}\left(f\left(x\right)\right)=x untuk semua xx di dalam domain ff.

Atau dapat juga didefinisikan, jika f(x)=yf\left(x\right)=y, maka f1(y)=xf^{-1}\left(y\right)=x.

Secara umum invers dari komposisi (fg)(x)\left(f\circ g\right)\left(x\right) memenuhi sifat

(fg)1(x)=(g1f1)(x)\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)=\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\left(x\right).

Dengan kata lain, invers dari komposisi dapat dicari dengan menentukan invers dari masing-masing fungsi kemudian dikomposisikan.

Perlu diingat sifat distributif juga operasi aljabar sebagai berikut:

Untuk sembarang bilangan a, b,a,\ b, dan cc berlaku (a+b).c=a.c+b.c\left(a+b\right).c=a.c+b.c

Akan dicari definisi fungsi ff. Diketahui f(x1)=3x1f\left(x-1\right)=3x-1, dimisalkan x1=yx-1=y, maka x=y+1x=y+1. Diperoleh

f(x1)=3x1f\left(x-1\right)=3x-1

f(y)=3(y+1)1\Leftrightarrow f\left(y\right)=3\left(y+1\right)-1

f(y)=3y+31\Leftrightarrow f\left(y\right)=3y+3-1

f(y)=3y+2\Leftrightarrow f\left(y\right)=3y+2

Dengan demikian, f(x)=3x+2f\left(x\right)=3x+2.

Akan dicari definisi fungsi gg. Diketahui g(x+1)=x2x+2g\left(x+1\right)=\frac{x-2}{x+2}, dimisalkan x+1=zx+1=z, maka x=z1x=z-1. Diperoleh

g(x+1)=x2x+2g\left(x+1\right)=\frac{x-2}{x+2}

g(z)=(z1)2(z1)+2\Leftrightarrow g\left(z\right)=\frac{\left(z-1\right)-2}{\left(z-1\right)+2}

g(z)=z12z1+2\Leftrightarrow g\left(z\right)=\frac{z-1-2}{z-1+2}

g(z)=z3z+1\Leftrightarrow g\left(z\right)=\frac{z-3}{z+1}

Dengan demikian g(x)=x3x+1g\left(x\right)=\frac{x-3}{x+1}

Akan dicari definisi fungsi (gf)(x)\left(g\circ f\right)\left(x\right). Berdasarkan definisi komposisi dua fungsi diperoleh

(gf)(x)=g(f(x))\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)

Berdasarkan definisi fungsi ff diperoleh

(gf)(x)=g(3x+2)\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(3x+2\right)

Berdasarkan definisi fungsi gg diperoleh

(gf)(x)=(3x+2)3(3x+2)+1\left(g\circ f\right)\left(x\right)=\frac{\left(3x+2\right)-3}{\left(3x+2\right)+1}

(gf)(x)=3x+233x+2+1\Leftrightarrow\left(g\circ f\right)\left(x\right)=\frac{3x+2-3}{3x+2+1}

(gf)(x)=3x13x+3\Leftrightarrow\left(g\circ f\right)\left(x\right)=\frac{3x-1}{3x+3}

Akan dicari invers dari (gf)(x)\left(g\circ f\right)\left(x\right). Dimisalkan (gf)1(x)=k\left(g\circ f\right)^{-1}\left(x\right)=k, maka berdasarkan definisi invers fungsi, didapat

(gf)(k)=x\left(g\circ f\right)\left(k\right)=x

3k13k+3=x\Leftrightarrow\frac{3k-1}{3k+3}=x

3k1=x(3k+3)\Leftrightarrow3k-1=x\left(3k+3\right)

3k1=3kx+3x\Leftrightarrow3k-1=3kx+3x

3k3kx=3x+1\Leftrightarrow3k-3kx=3x+1 dengan sifat distributif, diperoleh

(33x)k=3x+1\Leftrightarrow\left(3-3x\right)k=3x+1

k=3x+133x\Leftrightarrow k=\frac{3x+1}{3-3x}

(gf)1(x)=3x+133x\Leftrightarrow\left(g\circ f\right)^{-1}\left(x\right)=\frac{3x+1}{3-3x}

K13 Kelas X Matematika Wajib Operasi Aljabar Fungsi, Komposisi, dan Invers Fungsi Operasi Invers Komposisi Fungsi Skor 3
LOTS Teknik Hitung
Video
31 Januari 2021
Operasi Komposisi pada Fungsi
Rangkuman
27 April 2021
Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak | Matematika | Kelas 10 | KD 3.1 & KD 4.1

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal