Diketahui:

Fungsi $f\left(x\right)=\frac{x}{2}$, $g\left(x\right)=x^2-1$ dan $h\left(x\right)=x+2$. Diketahui pula $g\left(a\right)=3$ dan $\left(f.h\right)\left(b\right)=12$.

Ditanya:

Nilai $a^2+b^2$?

Jawab:

Secara umum, jika fungsi $f$ dan $g$ terdefinisi pada domain $D_f$ dan $D_g$, maka berlaku hasil kali dua fungsi $f$ dan $g$ yang dinotasikan dengan $f.g$ didefinisikan dengan

$\left(f.g\right)\left(x\right)=f\left(x\right).g\left(x\right)$

dengan domain $D_{f.g}=D_f\cap D_g$.

Selain itu, perlu diingat bahwa untuk sembarang dua bilangan $p$ dan $q$ berlaku

$\left(p-q\right)\left(p+q\right)=p^2-q^2$

Terlebih dahulu akan dicari nilai $a$. Berdasarkan yang diketahui diperoleh

$g\left(x\right)=x^2-1$

$\Leftrightarrow g\left(a\right)=a^2-1$

$\Leftrightarrow3=a^2-1$

$\Leftrightarrow0=a^2-1-3$

$\Leftrightarrow0=a^2-4$

$\Leftrightarrow0=\left(a-2\right)\left(a+2\right)$

Artinya

$a-2=0\Leftrightarrow a=2$ atau

$a+2=0\Leftrightarrow a=-2$

sehingga

$a^2=2^2=4$ atau

$a^2=\left(-2\right)^2=4$

Nilai $a^2$ hanya satu, yaitu 4.

Selanjutnya, akan dicari nilai $b$. Berdasarkan definisi hasil kali dua fungsi dan yang diketahui pada soal, didapat

$\left(f.h\right)\left(b\right)=f\left(b\right).h\left(b\right)$

Karena $\left(f.h\right)\left(b\right)=12$, maka

$12=f\left(b\right).h\left(b\right)$

Berdasarkan definisi fungsi $f$ dan fungsi $h$ didapat

$12=\left(\frac{b}{2}\right)\left(b+2\right)$

$\Leftrightarrow24=b\left(b+2\right)$

$\Leftrightarrow24=b^2+2b$

$\Leftrightarrow0=b^2+2b-24$

$\Leftrightarrow0=\left(b+4\right)\left(b-6\right)$

Artinya

$b+4=0\Leftrightarrow b=-4$ atau

$b-6=0\Leftrightarrow b=6$,

sehingga

$b^2=\left(-4\right)^2=16$ atau

$b^2=6^2=36$.

Jadi

$a^2+b^2=4+16=20$ atau

$a^2+b^2=4+36=40$