Bank Soal Matematika SMA Permutasi

Soal

Pilgan

Lihat Pembahasan

Perhatikan gambar berikut!

Seekor semut akan berjalan dari titik A ke titik B dengan ketentuan ia hanya boleh ke atas atau ke kanan. Jika semut tersebut harus melalui titik X untuk mengambil gula, maka banyaknya cara memperoleh rute terpendek yang dapat dipilih semut adalah ....

A

B

C

D

E

Pembahasan:

Soal ini dapat diselesaikan menggunakan permutasi yang memuat unsur yang sama.

Banyaknya permutasi $n$ unsur yang memuat $r_1$ unsur sama, $r_2$ unsur sama, ... , $r_{k-1}$ unsur sama, dan $r_k$ unsur sama dengan $r_1+r_2+\ldots+r_k\le n$ ditentukan dengan rumus

$P\ =\ \frac{n!}{r_1!\cdot r_2!\cdot\ldots\cdot r_{k-1}!\cdot r_k!}$

Notasi $n!$ dibaca $n$ faktorial. Untuk setiap $n$ bilangan asli, didefinisikan

$n!\ =\ n\ \times n-1\ \times\ldots\ \times2\ \times1$

dan didefinisikan $0!\ =\ 1$ .

Jika dilihat dari titik A ke X, terdapat 1 garis satuan ke kanan dan 2 garis satuan ke atas di setiap baris dan kolom. Selanjutnya jika dilihat dari titik X ke titik B, terdapat 3 garis satuan ke kanan dan 1 garis satuan ke atas di setiap baris dan kolom.

Misalkan a adalah ketika semut berjalan ke atas dan k adalah ketika semut berjalan ke kanan. Sehingga total semut akan melewati 7 garis satuan dengan rute yang melalui titik X.

Untuk menyelesaikan soal ini, kita bagi menjadi dua kasus yaitu.

Pertama, banyaknya cara semut berjalan dari titik A ke titik X.

Karena terdapat 1 garis satuan ke kanan dan 2 garis satuan ke atas di setiap baris dan kolom, maka kita peroleh himpunan $\left\{k,a,a\right\}.$

Sehingga untuk menyelesaikan kasus ini sama dengan mencari banyak susunan berbeda dari $\left\{k,a,a\right\}$ yang merupakan permutasi 3 unsur dengan 2 unsur a yang sama.

Banyaknya susunan adalah $\frac{3!}{2!}=\frac{3\times2!}{2!}=3.$

Kedua, banyaknya cara semut berjalan dari titik X ke titik B.

Karena terdapat 3 garis satuan ke kanan dan 1 garis satuan ke atas di setiap baris dan kolom, maka kita peroleh himpunan $\ \left\{k,k,k,a\right\}$

Sehingga untuk menyelesaikan kasus ini sama dengan mencari banyak susunan berbeda dari $\ \left\{k,k,k,a\right\}$ yang merupakan permutasi 4 unsur dengan 3 unsur k yang sama.

Banyaknya susunan adalah $\frac{4!}{3!}=\frac{4\times3!}{3!}=4$

Menurut aturan perkalian, banyaknya rute terpendek dari A ke B dengan melalui titik X yang dapat dipilih semut adalah $3\ \times4\ =\ 12.$

K13 Kelas XII Matematika Aljabar Aturan Pencacahan Permutasi Skor 3
KurMer Kelas XII Matematika Aturan pencacahan Skor 3
Video Matematika Wajib Soal Cerita LOTS