Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi

Soal

Pilgan

Lihat Pembahasan

Sebuah persegi panjang memiliki keliling sebesar $8$ cm. Panjang diagonal minimum bangun tersebut adalah ....

A

$\sqrt{2}$ cm

B

$2\sqrt{2}$ cm

C

$3\sqrt{2}$ cm

D

$4\sqrt{2}$ cm

E

$5\sqrt{2}$ cm

Pembahasan:

Diketahui: $K=8$ cm

Ditanya: Panjang diagonal minimum dari persegi panjang

Dijawab:

Misalkan panjang, lebar, dan diagonal sisi bangun tersebut adalah $p$ , $l$ , dan $d$ . Hubungan variabel tersebut dengan persegi panjang adalah sebagai berikut.

$K=2\left(p+l\right)$

$d=\sqrt{p^2+l^2}$

$K:$ Keliling

Berdasarkan rumus di atas, diperoleh:

$K=2\left(p+l\right)=8$

$p+l=4\ \Rightarrow\ l=4-p$

$d=\sqrt{p^2+\left(4-p\right)^2}=\sqrt{2p^2-8p+16}=\left(2p^2-8p+16\right)^{\frac{1}{2}}$

Nilai minimum dari panjang diagonal persegi panjang dapat diperoleh dengan mencari turunan pertama sebagai berikut.

$d'=0$

Berdasarkan metode di atas, diperoleh:

$d'=\frac{1}{2}\left(2p^2-8p+16\right)^{\frac{1}{2}-1}\left(4p-8\right)=0$

$\frac{4p-8}{2}\left(2p^2-8p+16\right)^{-\frac{1}{2}}=0$

$\frac{2p-4}{\sqrt{2p^2-8p+16}}=0$

Apabila terdapat fungsi rasional, maka hal yang menyebabkan fungsi tersebut bernilai nol adalah pembilang dari fungsi tersebut. Hal tersebut berakibat:

$2p-4=0\ \Rightarrow p=2$ cm