Diketahui: $K=8$ cm

Ditanya: Panjang diagonal minimum dari persegi panjang

Dijawab:

Misalkan panjang, lebar, dan diagonal sisi bangun tersebut adalah $p$, $l$, dan $d$. Hubungan variabel tersebut dengan persegi panjang adalah sebagai berikut.

$K=2\left(p+l\right)$

$d=\sqrt{p^2+l^2}$

$K:$ Keliling

Berdasarkan rumus di atas, diperoleh:

$K=2\left(p+l\right)=8$

$p+l=4\ \Rightarrow\ l=4-p$

$d=\sqrt{p^2+\left(4-p\right)^2}=\sqrt{2p^2-8p+16}=\left(2p^2-8p+16\right)^{\frac{1}{2}}$

Nilai minimum dari panjang diagonal persegi panjang dapat diperoleh dengan mencari turunan pertama sebagai berikut.

$d'=0$

Berdasarkan metode di atas, diperoleh:

$d'=\frac{1}{2}\left(2p^2-8p+16\right)^{\frac{1}{2}-1}\left(4p-8\right)=0$

$\frac{4p-8}{2}\left(2p^2-8p+16\right)^{-\frac{1}{2}}=0$

$\frac{2p-4}{\sqrt{2p^2-8p+16}}=0$

$$Apabila terdapat fungsi rasional, maka hal yang menyebabkan fungsi tersebut bernilai nol adalah pembilang dari fungsi tersebut. Hal tersebut berakibat:

$2p-4=0\ \Rightarrow p=2$ cm

Substitusikan nilai $p$ ke persamaan keliling, diperoleh:

$K=2\left(p+l\right)=8$

$p+l=4$

$2+l=4\ \Rightarrow\ l=2$ cm

Karena panjang dan lebar bangun tersebut sama, berakibat:

$d=p\sqrt{2}=l\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ cm

Jadi, panjang diagonal minimum dari persegi panjang tersebut adalah $2\sqrt{2}$ cm.