Bank Soal Matematika SMA Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel

Langkah-langkah mencari daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear-kuadrat dua variabel adalah sebagai berikut.

Langkah pertama adalah melukis garis pembatas

Pada persoalan di atas, $-4x+2y<8$ adalah pertidaksamaan linear dan $y<-x^2+4$ adalah pertidaksamaan kuadrat.

Garis pembatas pada sistem pertidaksamaan di atas adalah $-4x+2y=8$

Cara melukis garis pembatas dengan mencari titik potong garis dengan sumbu $x$ dan sumbu $y$. Titik potong garis dengan sumbu koordinat dapat dinyatakan dalam tabel berikut.

Selanjutnya, lukis garis pembatas dengan ketentuan:

Jika pertidaksamaan memuat tanda $<$ atau $>$ , maka garis pembatasnya digambar dengan garis putus-putus

Jika pertidaksamaan memuat tanda $\le$ atau $\ge$ , maka garis pembatasnya digambar dengan garis penuh.

Pada pertidaksamaan $-4x+2y<8$ memuat tanda $<$ sehingga garis pembatasnya berupa garis putus-putus.

Langkah kedua adalah melukis kurva pembatas

Kurva pembatas pada sistem pertidaksamaan di atas adalah $y=-x^2+4$. Cara melukis kurva pembatas dengan mencari titik potong garis dengan sumbu $x$ dan sumbu $y$. Titik potong kurva dengan sumbu koordinat dapat dinyatakan dalam tabel berikut.

Titik puncak diperoleh dengan rumus $x=-\frac{b}{2a}$ dan $y=-\frac{D}{4a}$ dengan $D=b^2-4ac$

Karena $y=-x^2+4$ dengan $a=-1,b=0,c=4$ maka

$x=-\frac{0}{2\left(-1\right)}$

$x=\frac{0}{2}$

$x=0$

$y=-\frac{0^2-4\left(-1\right)\left(4\right)}{4\left(-1\right)}$

$y=\frac{0^2+16}{4}$

$y=\frac{16}{4}$

$y=4$

sehingga diperoleh titik puncak $\left(0,4\right)$

Pada pertidaksamaan $y<-x^2+4$ memuat tanda $<$ sehingga kurva pembatasnya berupa garis putus-putus.

Langkah ketiga adalah mencari titik potong garis dengan kurva

Mencari titik potong garis dengan kurva dapat dilakukan dengan melakukan substitusi persamaan $-4x+2y=8$ ke persamaan $y=-x^2+4$

Terlebih dahulu ubah $-4x+2y=8$ ke bentuk eksplisit $y=\frac{4x+8}{2}$

$y=-x^2+4$

$\frac{4x+8}{2}=-x^2+4$

$4x+8=-2x^2+8$

$2x^2+4x=0$

$x^2+2x=0$

$x\left(x+2\right)=0$

$x=0$ atau $x=-2$

Selanjutnya mencari nilai $y$

untuk $x=0$

$y=-x^2+4$

$y=-\left(0\right)^2+4$

$y=0+4$

$y=4$

sehingga diperoleh titik potong $\left(0,4\right)$

untuk $x=-2$

$y=-x^2+4$

$y=-\left(-2\right)^2+4$

$y=-4+4$

$y=0$

sehingga diperoleh titik potong $\left(-2,0\right)$

Langkah keempat adalah melukis daerah penyelesaian

Perhatikan tanda koefisien $y$ dan tanda pertidaksamaan

Jika koefisien $y$ atau $y^2$ $>0$ maka bernilai positif $\left(+\right)$

Jika koefisien $y$ tau $y^2$ $<0$ maka bernilai negatif $\left(-\right)$

Jika tanda pertidaksamaan berupa $>$ atau $\ge$ maka bernilai positif $\left(+\right)$

Jika tanda pertidaksamaan berupa $<$ atau $\le$ maka bernilai negatif $\left(-\right)$

Lakukan perkalian tanda koefisien dengan tanda pertidaksamaan

$\left(+\right)\times\left(+\right)=\left(+\right),\$ maka diarsir di atas atau di luar pembatas

$\left(-\right)\times\left(-\right)=\left(+\right),\$ maka diarsir di atas atau di luar pembatas

$\left(+\right)\times\left(-\right)=\left(-\right),\$ maka diarsir di bawah atau di dalam pembatas

$\left(-\right)\times\left(+\right)=\left(-\right),\$ maka diarsir di bawah atau di dalam pembatas

Dengan demikian,

Pada pertidaksamaan $-4x+2y<8$ koefisien $y>0$ dan tanda pertidaksamaan berupa $<$ maka hasil kalinya

$\left(+\right)\times\left(-\right)=\left(-\right)$, maka diarsir di bawah garis pembatas

Pada pertidaksamaan $y<-x^2+4$ koefisien $y>0$ dan tanda pertidaksamaan berupa $<$ maka hasil kalinya

$\left(+\right)\times\left(-\right)=\left(-\right)$, maka diarsir di bawah kurva pembatas

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear-kuadrat dua variabel merupakan irisan dari kedua daerah penyelesaian pertidaksamaan. Sehingga diperoleh daerah penyelesaian sebagai berikut.