Bank Soal Matematika SMP Peluang Munculnya Kejadian

Diketahui:

Ada tiga ekor semut yang berada di ketiga titik sudut segitiga sama sisi.

Setiap semut dapat bergerak searah atau berlawanan jarum jam sepanjang sisi segitiga.

Ditanya:

Peluang tidak ada semut yang bertabrakan?

Dijawab:

Peluang suatu kejadian adalah pembagian dari jumlah kejadian (A) dan jumlah keseluruhan (S) kejadian.

↔ $p\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}$

Permasalahan ini berupa peluang dengan beberapa kemungkinan yang dapat terjadi. Anggaplah kemungkinan A atau B menyebabkan kejadian yang sama. Dengan demikian, peluang suatu kejadian adalah:

↔ $p\left(A\ atau\ B\right)\ =\ p\left(A\right)+p\left(B\right)$

Terkadang, dua kejadian atau lebih dapat terjadi bersamaan. Jika semuanya independen, kita menggunakan aturan perkalian dalam peluang seperti di bawah.

↔ $p\left(A\ dan\ B\right)\ =\ p\left(A\right)\cdot p\left(B\right)$

Berdasarkan soal, kita dapat membuat ilustrasi sebagai berikut. Lingkaran di setiap titik sudut segitiga menunjukkan letak awal setiap semut.

Arah gerak semut dapat searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam.

↔ Peluang semut bergerak ke satu arah tertentu $=p\left(A\right)=\frac{1}{2}$

Di soal ini, agar tidak ada semut yang bertabrakan, ketiganya harus bergerak dengan arah yang sama. Misalkan, ketiganya bergerak searah jarum jam atau ketiganya bergerak berlawanan arah jarum jam. Anggap saja ketiganya bergerak searah jarum jam.

Kasus pertama (ketiganya bergerak searah jarum jam):

↔ Peluang tiap semut bergerak searah jarum jam $=p\left(\text{searah jarum jam}\right)=\frac{1}{2}$

Karena telah diketahui peluang tiap semut bergerak searah jarum jam, kita dapat menghitung jika ketiganya melakukan hal yang sama. Caranya adalah dengan menggunakan konsep perkalian peluang seperti yang dijelaskan di atas.

↔ Peluang ketiga semut bergerak searah jarum jam $=p\left(3\ \text{searah jarum jam}\right)=p\left(\text{searah jarum jam}\right)^3$ (dipangkat tiga karena peluang searah jarum jam dikalikan dirinya sendiri tiga kali)

↔ $p\left(3\ \text{searah jarum jam}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^3$

↔ $p\left(3\ \text{searah jarum jam}\right)=\frac{1}{8}$

Kasus kedua (ketiganya bergerak berlawanan jarum jam):

Di bagian awal telah dinyatakan peluang untuk bergerak searah atau berlawanan jarum jam adalah sama.

↔ $p\left(3\ \text{berlawanan jarum jam}\right)=\frac{1}{8}\$

Gabungan dari kedua kemungkinan:

Kejadian tidak ada semut yang bertabrakan dapat disebabkan oleh ketiganya bergerak searah jarum jam atau ketiganya bergerak berlawanan jarum jam. Dengan demikian, kita gunakan teori penjumlahan.

↔ $p\left(\text{tidak bertabrakan}\right)=p\left(3\ \text{searah jarum jam}\right)+p\left(3\ \text{berlawanan arah jarum jam}\right)\$

↔ $p\left(\text{tidak bertabrakan}\right)=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\$

Jadi, peluang ketiganya tidak bertabrakan adalah $\frac{1}{4}\$.