Bank Soal Matematika SMP Menyusun Persamaan Kuadrat

Langkah-langkah menentukan fungsi kuadrat jika diketahui tiga titik yang dilaluinya:

1. Misalkan fungsinya adalah f(x) = y = ax² + bx + c. Substitusikan nilai x dan y ketiga titik yang diketahui ke fungsi.
2. Gunakan metode eliminasi dan substitusi pada ketiga fungsi untuk memperoleh nilai a, b, dan c.

Diperhatikan kembali grafik berikut.

Dapat dilihat bahwa fungsi kuadrat tersebut melalui tiga titik: ($-$2,2), (0,4), dan (1,$-$1).

Misalkan fungsinya adalah f(x) = y = ax² + bx + c. Substitusikan nilai x dan y ketiga titik yang diketahui ke fungsi.

($-$2,2) $\Rightarrow$ 2 = a($-$2)² + b($-$2) + c $\Leftrightarrow$ 2 = 4a $-$2b + c ... (i)

(0,4) $\Rightarrow$ 4 = a(0)² + b(0) + c $\Leftrightarrow$ c = 4

(1,$-$1) $\Rightarrow$ $-$1 = a(1)² + b(1) + c $\Leftrightarrow$ $-$1 = a + b + c ... (ii)

Gunakan metode eliminasi dan substitusi pada ketiga fungsi untuk memperoleh nilai a, b, dan c.

Substitusi c = 4 ke persamaan (i) dan (ii)

(i) 2 = 4a $-$ 2b + 4

$\Leftrightarrow$ 2 $-$ 4 = 4a $-$ 2b

$\Leftrightarrow$ 4a $-$ 2b = $-$2 | kedua ruas dibagi 2

$\Leftrightarrow$ 2a $-$ b = $-$1

(ii) $-$1 = a + b + 4

$\Leftrightarrow$ $-$1 $-$ 4 = a + b

$\Leftrightarrow$ a + b = $-$5

Eliminasi b pada persamaan (i) dengan persamaan (ii)

2a $-$ b = $-$1

a + b = $-$5 +

3a = $-$6 $\Leftrightarrow$ a = $-$2

Substitusi a = $-$2 ke persamaan (ii)

a = $-$2 $\Rightarrow$ $-$2 + b = $-$5 $\Leftrightarrow$ b = $-$3

Diperoleh a = $-$2, b = $-$3, dan c = 4. Jadi, persamaan kuadrat tersebut adalah f(x) = y = $-$2x² $-$ 3x + 4.

Cara mengecek kebenaran:

• Substitusi nilai x dari ketiga titik yang diketahui ke fungsi.
• Periksa apakah nilai y yang diperoleh sama dengan nilai y yang diketahui.

Periksa fungsi kuadrat f(x) = y = $-$2x² $-$ 3x + 4.

x = $-$2 $\Rightarrow$ y = $-$2($-$2)² $-$ 3($-$2) + 4 = 2

x = 0 $\Rightarrow$ y = $-$2(0)² $-$ 3(0) + 4 = 4

x = 1 $\Rightarrow$ y = $-$2(1)² $-$ 3(1) + 4 = $-$1

Diperoleh ketiga titiknya sesuai sehingga benar fungsi kuadratnya adalah f(x) = $-$2x² $-$ 3x + 4.