Bank Soal Matematika SMA Teorima Sisa dan Teorema Faktor

Diketahui:

$f\left(x\right)=x^3+ax^2+5x+3b-2$

$f\left(x\right)$ dibagi oleh $(x^2+1)$ sisa $a+3$

$f\left(x\right)$ dibagi oleh $\left(x-1\right)$ sisa $15$

Ditanya:

$3a-b=?$

Jawab:

Bentuk umum polinomial adalah:

$f\left(x\right)=P\left(x\right)H\left(x\right)+S\left(x\right)$

dengan $P\left(x\right)$ adalah pembagi; $H\left(x\right)$ adalah hasil bagi; dan $S\left(x\right)$ adalah sisa pembagian.

Diketahui $f\left(x\right)$ dibagi oleh $\left(x-1\right)$ sisa $15$ , maka

$f\left(x\right)=\left(x-1\right)H\left(x\right)+15$

$\Leftrightarrow\ x^3+ax^2+5x+3b-2=\left(x-1\right)H\left(x\right)+15$

$\Leftrightarrow\ \left(1\right)^3+a\left(1\right)^2+5\left(1\right)+3b-2=\left(1-1\right)H\left(1\right)+15$

$\Leftrightarrow\ 1+a+5+3b-2=0+15$

$\Leftrightarrow\ a+3b+4=15$

$\Leftrightarrow\ a+3b=15-4$

$\Leftrightarrow\ a+3b=11$ ...(1)

Diketahui $f\left(x\right)$ dibagi oleh $\left(x^2+1\right)$ sisa $\left(a+3\right)$

$\left(x^2+1\right)$ tidak dapat difaktorkan, sehingga kita tidak dapat menggunakan teorema faktor dan teorema sisa. Namun, kita dapat memisalkan hasil pembagian $f\left(x\right)$ oleh $\left(x^2+1\right)$. $f\left(x\right)$ merupakan suku banyak berderajat 3, dibagi oleh $\left(x^2+1\right)$ yang merupakan suku banyak berderajat 2, sehingga hasil baginya adalah suku banyak berderajat 1. Oleh karena itu, kita dapat memisalkan hasil pembagian $f\left(x\right)$ oleh $\left(x^2+1\right)$ dengan $\left(x-k\right)$, sehingga

$f\left(x\right)=P\left(x\right)H\left(x\right)+S\left(x\right)$

$\Leftrightarrow\ f\left(x\right)=\left(x^2+1\right)\left(x-k\right)+\left(a+3\right)$

$\Leftrightarrow\ x^3+ax^2+5x+3b-2=\left(x^2+1\right)\left(x-k\right)+\left(a+3\right)$

$\Leftrightarrow\ x^3+ax^2+5x+3b-2=\left(x^3-kx^2+x-k\right)+\left(a+3\right)$

$\Leftrightarrow\ x^3+ax^2+5x+3b-2=x^3-kx^2+x+\left(-k+a+3\right)$

Menggunakan teori kesamaan suku banyak, diperoleh:

$a=-k\ \Leftrightarrow\ k=-a$ ...(2)

$3b-2=-k+a+3$ ...(3)

Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (3)

$3b-2=-k+a+3$

$\Leftrightarrow\ 3b-2=-\left(-a\right)+a+3$

$\Leftrightarrow\ 3b-2=a+a+3$

$\Leftrightarrow\ 3b-2=2a+3$

$\Leftrightarrow\ 3b-2a=5$

$\Leftrightarrow\ -2a+3b=5$ ...(4)

Eliminasi persamaan (1) dan (4)

Substitusikan $a=2$ ke persamaan (1)

$a+3b=11$

$\Leftrightarrow\ 2+3b=11$

$\Leftrightarrow\ 3b=11-2$

$\Leftrightarrow\ 3b=9$

$\Leftrightarrow\ b=3$

Nilai $3a-b$

$3a-b=3\left(2\right)-3$

$\Leftrightarrow\ 3a-b=6-3$

$\Leftrightarrow\ 3a-b=3$

Jadi, nilai $3a-b$ adalah 3.