Bank Soal Matematika SMA Teorima Sisa dan Teorema Faktor

Soal

Pilgan

Sisa pembagian f(x)=x3+ax2+5x+3b2f\left(x\right)=x^3+ax^2+5x+3b-2 oleh x2+1x^2+1 adalah a+3a+3. f(x)f\left(x\right) dibagi oleh x1x-1 bersisa 15. Nilai 3ab3a-b adalah ....

A

1

B

2

C

3

D

4

E

5

Pembahasan:

Diketahui:

f(x)=x3+ax2+5x+3b2f\left(x\right)=x^3+ax^2+5x+3b-2

f(x)f\left(x\right) dibagi oleh (x2+1)(x^2+1) sisa a+3a+3

f(x)f\left(x\right) dibagi oleh (x1)\left(x-1\right) sisa 1515

Ditanya:

3ab=?3a-b=?

Jawab:

Bentuk umum polinomial adalah:

f(x)=P(x)H(x)+S(x)f\left(x\right)=P\left(x\right)H\left(x\right)+S\left(x\right)

dengan P(x)P\left(x\right) adalah pembagi; H(x)H\left(x\right) adalah hasil bagi; dan S(x)S\left(x\right) adalah sisa pembagian.

Diketahui f(x)f\left(x\right) dibagi oleh (x1)\left(x-1\right) sisa 1515 , maka

f(x)=(x1)H(x)+15f\left(x\right)=\left(x-1\right)H\left(x\right)+15

 x3+ax2+5x+3b2=(x1)H(x)+15\Leftrightarrow\ x^3+ax^2+5x+3b-2=\left(x-1\right)H\left(x\right)+15

 (1)3+a(1)2+5(1)+3b2=(11)H(1)+15\Leftrightarrow\ \left(1\right)^3+a\left(1\right)^2+5\left(1\right)+3b-2=\left(1-1\right)H\left(1\right)+15

 1+a+5+3b2=0+15\Leftrightarrow\ 1+a+5+3b-2=0+15

 a+3b+4=15\Leftrightarrow\ a+3b+4=15

 a+3b=154\Leftrightarrow\ a+3b=15-4

 a+3b=11\Leftrightarrow\ a+3b=11 ...(1)

Diketahui f(x)f\left(x\right) dibagi oleh (x2+1)\left(x^2+1\right) sisa (a+3)\left(a+3\right)

(x2+1)\left(x^2+1\right) tidak dapat difaktorkan, sehingga kita tidak dapat menggunakan teorema faktor dan teorema sisa. Namun, kita dapat memisalkan hasil pembagian f(x)f\left(x\right) oleh (x2+1)\left(x^2+1\right). f(x)f\left(x\right) merupakan suku banyak berderajat 3, dibagi oleh (x2+1)\left(x^2+1\right) yang merupakan suku banyak berderajat 2, sehingga hasil baginya adalah suku banyak berderajat 1. Oleh karena itu, kita dapat memisalkan hasil pembagian f(x)f\left(x\right) oleh (x2+1)\left(x^2+1\right) dengan (xk)\left(x-k\right), sehingga

f(x)=P(x)H(x)+S(x)f\left(x\right)=P\left(x\right)H\left(x\right)+S\left(x\right)

 f(x)=(x2+1)(xk)+(a+3)\Leftrightarrow\ f\left(x\right)=\left(x^2+1\right)\left(x-k\right)+\left(a+3\right)

 x3+ax2+5x+3b2=(x2+1)(xk)+(a+3)\Leftrightarrow\ x^3+ax^2+5x+3b-2=\left(x^2+1\right)\left(x-k\right)+\left(a+3\right)

 x3+ax2+5x+3b2=(x3kx2+xk)+(a+3)\Leftrightarrow\ x^3+ax^2+5x+3b-2=\left(x^3-kx^2+x-k\right)+\left(a+3\right)

 x3+ax2+5x+3b2=x3kx2+x+(k+a+3)\Leftrightarrow\ x^3+ax^2+5x+3b-2=x^3-kx^2+x+\left(-k+a+3\right)

Menggunakan teori kesamaan suku banyak, diperoleh:

a=k  k=aa=-k\ \Leftrightarrow\ k=-a ...(2)

3b2=k+a+33b-2=-k+a+3 ...(3)

Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (3)

3b2=k+a+33b-2=-k+a+3

 3b2=(a)+a+3\Leftrightarrow\ 3b-2=-\left(-a\right)+a+3

 3b2=a+a+3\Leftrightarrow\ 3b-2=a+a+3

 3b2=2a+3\Leftrightarrow\ 3b-2=2a+3

 3b2a=5\Leftrightarrow\ 3b-2a=5

 2a+3b=5\Leftrightarrow\ -2a+3b=5 ...(4)

Eliminasi persamaan (1) dan (4)

Substitusikan a=2a=2 ke persamaan (1)

a+3b=11a+3b=11

 2+3b=11\Leftrightarrow\ 2+3b=11

 3b=112\Leftrightarrow\ 3b=11-2

 3b=9\Leftrightarrow\ 3b=9

 b=3\Leftrightarrow\ b=3

Nilai 3ab3a-b

3ab=3(2)33a-b=3\left(2\right)-3

 3ab=63\Leftrightarrow\ 3a-b=6-3

 3ab=3\Leftrightarrow\ 3a-b=3

Jadi, nilai 3ab3a-b adalah 3.

Video
16 Maret 2020
Sudut | Matematika | Kelas IV
Rangkuman
08 April 2020
Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal