Bank Soal Matematika SMA Operasi Komposisi pada Fungsi

Soal

Pilgan

Diketahui fungsi f(x)=1x+af\left(x\right)=\frac{1}{x+a} dan g(x)=x2+bg\left(x\right)=x^2+b dengan (fg)(1)=12\left(f\circ g\right)\left(1\right)=\frac{1}{2} dan (gf)(1)=2\left(g\circ f\right)\left(1\right)=2. Nilai a+b=....a+b=....

A

1

B

2

C

0

D

-1

E

-2

Pembahasan:

Diketahui:

f(x)=1x+af\left(x\right)=\frac{1}{x+a}

g(x)=x2+bg\left(x\right)=x^2+b

(fg)(1)=12\left(f\circ g\right)\left(1\right)=\frac{1}{2}

(gf)(1)=2\left(g\circ f\right)\left(1\right)=2

Ditanya:

a+b=?a+b=?

Jawab:

Diberikan dua fungsi ff dan gg, fungsi fgf\circ g didefinisikan sebagai (fg)(x)=f(g(x))\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right).

Dengan kata lain, fungsi gg dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya digunakan untuk mengerjakan fungsi ff.

Dari (fg)(x)\left(f\circ g\right)\left(x\right) diperoleh

(fg)(x)=f(g(x))\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)

=1g(x)+a=\frac{1}{g\left(x\right)+a}

=1x2+b+a=\frac{1}{x^2+b+a}

Diketahui (fg)(1)=12\left(f\circ g\right)\left(1\right)=\frac{1}{2} maka

112+b+a=12\frac{1}{1^2+b+a}=\frac{1}{2}

11+b+a=12\frac{1}{1+b+a}=\frac{1}{2}

Sehingga

1+b+a=21+b+a=2

a=1ba=1-b .... (1)

Dari (gf)(x)\left(g\circ f\right)\left(x\right) diperoleh

(gf)(x)=g(f(x))\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)

=(f(x))2+b=\left(f\left(x\right)\right)^2+b

=(1x+a)2+b=\left(\frac{1}{x+a}\right)^2+b

Substitusikan nilai persamaan (1)

=(1x+(1b))2+b=\left(\frac{1}{x+\left(1-b\right)}\right)^2+b

=(1x+1b)2+b=\left(\frac{1}{x+1-b}\right)^2+b

Diketahui (gf)(1)=2\left(g\circ f\right)\left(1\right)=2 maka

(11+1b)2+b=2\left(\frac{1}{1+1-b}\right)^2+b=2

(12b)2+b=2\left(\frac{1}{2-b}\right)^2+b=2

(12b)2=2b\left(\frac{1}{2-b}\right)^2=2-b

1(2b)2=2b\frac{1}{\left(2-b\right)^2}=2-b

Kalikan kedua ruas dengan (2b)2\left(2-b\right)^2

1=(2b)31=\left(2-b\right)^3

1=2b1=2-b

b=1b=1

Substitusikan nilai b=1b=1 ke persamaan (1)

a=1ba=1-b

a=11a=1-1

a=0a=0

Sehingga diperoleh

a+b=0+1a+b=0+1

=1=1

Jadi, nilai a+b=1a+b=1.

Video
29 Januari 2021
Operasi Komposisi pada Fungsi | Matematika Wajib | Kelas X
Rangkuman
08 April 2020
Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal