Diketahui:

$v(t)=3t^2+2t+15$

jarak partikel pada $t=5$ adalah $220$

Ditanya:

Persamaan fungsi jarak partikel?

Dijawab:

Hubungan fungsi $s\left(t\right)$ dan $v\left(t\right)$ adalah sebagai berikut:

$s(t)=\int v(t)dt$

$\Leftrightarrow v(t)=\int(3t^2+2t+15)dt$

Integral tersebut terdiri dari beberapa integral yang dikurangkan dan dijumlahkan, maka kita uraikan terlebih dahulu dengan menggunakan aturan Integral Penjumlahan dan Pengurangan, yaitu:

$\int\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx\pm\int g\left(x\right)dx$

Maka menjadi:

$v(t)=\int(3t^2+2t+15)dt\$

$\Leftrightarrow v(t)=\int3t^2tdt+\int2tdt+\int15dt$

Untuk $f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1$ maka:

$\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$ dan $\int adx=ax+C$

Sehingga didapatkan:

$v(t)=\int3t^2tdt+\int2tdt+\int15dt$

$=\frac{3}{(2+1)}t^{(2+1)}+\frac{2}{(1+1)}t^{(1+1)}+15t+C$

$=\frac{3}{3}t^3+\frac{2}{2}t^2+15t+C$

$=t^3+t^2+15t+C$

Sehingga didapatkan $s(t)=t^3+t^2+15t+C$

Untuk $s(5)=220$ maka:

$(5)^3+(5)^2+15(5)+C=220$

$\Leftrightarrow125+25+75+C=220$

$\Leftrightarrow225+C=220$

$\Leftrightarrow C=220-225$

$\Leftrightarrow C=-5$

Jadi, persamaan fungsi jarak partikel adalah $s(t)=t^3+t^2+15t-5$