Bank Soal Matematika SMA Operasi Invers Komposisi Fungsi

Diketahui:

Fungsi $f=\{(0,1),\ (1,3),\ (2,5),\ (3,7)\}$ dan $g=\{(1,2),\ (3,4),\ (5,6),\ (7,8)\}$.

Ditanya:

Nilai dari $\left(g\circ f\right)^{-1}\left(4\right)$ ?

Jawab:

Definisi komposisi dua fungsi sebagai berikut:

Diberikan dua fungsi $f$ dan $g$, fungsi $f\circ g$ didefinisikan sebagai $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$.

Dengan kata lain, fungsi $g$ dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya digunakan untuk mengerjakan fungsi $f$.

Selain itu, secara umum invers dari komposisi $\left(f\circ g\right)\left(x\right)$ memenuhi persamaan

$\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)=\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\left(x\right)$.

Dengan kata lain, invers dari komposisi dapat dicari dengan menentukan invers dari masing-masing fungsi kemudian dikomposisikan.

Dengan definisi fungsi invers sebagai berikut:

Diberikan fungsi $f$. Invers dari $f$ dinotasikan dengan $f^{-1}$ yaitu suatu fungsi yang memenuhi

$f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=x$ untuk semua $x$ di dalam domain $f^{-1}$ dan

$f^{-1}\left(f\left(x\right)\right)=x$ untuk semua $x$ di dalam domain $f$.

Oleh karena itu, diperoleh

$\left(g\circ f\right)^{-1}\left(4\right)=\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)\left(4\right)$

Berdasarkan definisi komposisi dua fungsi, diperoleh

$\left(g\circ f\right)^{-1}\left(4\right)=f^{-1}\left(g^{-1}\left(4\right)\right)$

Berdasarkan definisi fungsi $g$ diketahui $g\left(3\right)=4$, didapat

$g^{-1}\left(4\right)=3$, sehingga diperoleh

$\left(g\circ f\right)^{-1}\left(4\right)=f^{-1}\left(3\right)$

Berdasarkan definisi fungsi $f$ diketahui $f\left(1\right)=3$, didapat

$f^{-1}\left(3\right)=1$, sehingga diperoleh

$\left(g\circ f\right)^{-1}\left(4\right)=1$