Bank Soal Matematika SMA Operasi Invers Komposisi Fungsi

Diketahui:

$\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\left(x\right)=3x-7$

$f\left(x\right)=\frac{x-7}{2x+3},x\ne-\frac{3}{2}$

Ditanya:

$g\left(1\right)=?$

Jawab:

Langkah-langkah menyelesaikan soal tersebut adalah sebagai berikut.

Mencari $\left(f\circ g\right)\left(x\right)$

Secara umum invers dari komposisi $\left(f\circ g\right)\left(x\right)$ memenuhi sifat

$\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)=\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\left(x\right)$.

Dengan kata lain, invers dari komposisi dapat dicari dengan menentukan invers dari masing-masing fungsi kemudian dikomposisikan.

Diketahui $\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\left(x\right)=3x-7$ maka

$\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\left(x\right)=\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)$

$\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)=3x-7$

Selanjutnya, perlu diingat sifat fungsi invers berikut.

Jika $f\left(x\right)=y$, maka $f^{-1}\left(y\right)=x$.

Misalkan $\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)=y$ maka diperoleh

$\left(f\circ g\right)\left(y\right)=x$

Karena $\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)=3x-7$ dan $\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)=y$ maka

$y=3x-7$

$y+7=3x$

$\frac{y+7}{3}=x$

Karena $\left(f\circ g\right)\left(y\right)=x$ maka

$\frac{y+7}{3}=\left(f\circ g\right)\left(y\right)$

$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=\frac{x+7}{3}$

Mencari $g\left(x\right)$

Diberikan dua fungsi $f$ dan $g$, fungsi $f\circ g$ didefinisikan sebagai $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$.

Dengan kata lain, fungsi $g$ dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya digunakan untuk mengerjakan fungsi $f$.

Didapatkan $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=\frac{x+7}{3}$ maka

$f\left(g\left(x\right)\right)=\frac{x+7}{3}$

Misalkan $g\left(x\right)=y$ maka

$f\left(y\right)=\frac{x+7}{3}$

Diketahui $f\left(x\right)=\frac{x-7}{2x+3},x\ne-\frac{3}{2}$ maka

$f\left(y\right)=\frac{y-7}{2y+3}$

Sehingga diperoleh

$\frac{x+7}{3}=\frac{y-7}{2y+3}$

Kalikan silang

$\left(x+7\right)\left(2y+3\right)=3\left(y-7\right)$

$2xy+3x+14y+21=3y-21$

$2xy+14y-3y=-3x-21-21$

$2xy+11y=-3x-42$

$y\left(2x+11\right)=-\left(3x+42\right)$

$y=-\frac{3x+42}{2x+11}$

Karena $g\left(x\right)=y$ maka

$g\left(x\right)=-\frac{3x+42}{2x+11}$

Mencari nilai $g\left(1\right)$

$g\left(1\right)=-\frac{3\left(1\right)+42}{2\left(1\right)+11}$

$=-\frac{3+42}{2+11}$

$=-\frac{45}{13}$

Jadi, nilai $g\left(1\right)$ adalah $-\frac{45}{13}$.