Bank Soal Matematika SMA Operasi Invers pada Fungsi

Diketahui:

$f\left(g\left(x\right)\right)=2x-5$

$g\left(x+2\right)=x-2$

Ditanya:

$f^{-1}\left(2\right).g^{-1}\left(2\right)=?$

Jawab:

Perlu diingat definisi invers fungsi berikut.

Diberikan fungsi $f$. Invers dari $f$ dinotasikan dengan $f^{-1}$ yang memenuhi

$f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=x$ untuk semua $x$ di dalam domain $f^{-1}$ dan

$f^{-1}\left(f\left(x\right)\right)=x$ untuk semua $x$ di dalam domain $f$.

Atau dapat juga didefinisikan, $f\left(x\right)=y$, jika dan hanya jika $f^{-1}\left(y\right)=x$.

Mencari nilai $g^{-1}\left(2\right)$.

Diketahui $g\left(x+2\right)=x-2$ maka

$g\left(x+2\right)=x-2$

Misalkan $a=x+2$ maka

$a=x+2$

$a-2=x$

Sehingga diperoleh

$g\left(a\right)=a-2-2$

$=a-4$

Boleh juga ditulis dalam bentuk

$g\left(x\right)=x-4$

Selanjutnya mencari invers fungsi $g\left(x\right)$

$y=x-4$

$y+4=x$

$g^{-1}\left(x\right)=x+4$

Sehingga diperoleh

$g^{-1}\left(2\right)=2+4=6$

Mencari nilai $f^{-1}\left(2\right)$.

Diketahui $f\left(g\left(x\right)\right)=2x-5$ dengan $g\left(x\right)=x-4$ maka

$f\left(x-4\right)=2x-5$

Misalkan $a=x-4$ maka

$a=x-4$

$a+4=x$

Sehingga diperoleh

$f\left(a\right)=2\left(a+4\right)-5$

$=2a+8-5$

$=2a+3$

Boleh juga ditulis dalam bentuk

$f\left(x\right)=2x+3$

Selanjutnya mencari invers fungsi $f\left(x\right)$

$y=2x+3$

$y-3=2x$

$\frac{y-3}{2}=x$

$f^{-1}\left(x\right)=\frac{x-3}{2}$

Sehingga diperoleh

$f^{-1}\left(2\right)=\frac{2-3}{2}=-\frac{1}{2}$

Maka,

$f^{-1}\left(2\right).g^{-1}\left(2\right)=\left(-\frac{1}{2}\right)\left(6\right)$

$=-3$

Jadi, nilai $f^{-1}\left(2\right).g^{-1}\left(2\right)$ adalah $-3$.