Bank Soal Matematika SMA Fungsi Kuadrat dan Grafik Parabola

Diketahui:

Grafik fungsi kuadrat $f$ melalui titik $\left(3,11\right)$, $\left(1,-15\right)$, dan $\left(-1,7\right)$

Ditanya:

Nilai $f\left(6\right)$?

Dijawab:

Bentuk umum persamaan fungsi kuadrat:

$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ atau $y=ax^2+bx+c$

dengan $a\ne0$ dan $a,b,c∈R$

Grafik $y=ax^2+bx+c$ berbentuk parabola

Jika diketahui tiga titik sembarang, maka untuk mencari persamaan fungsi kuadrat dapat dilakukan dengan cara:

1. Substitusi titik ke persamaan $y=ax^2+bx+c$
2. Eliminasi atau substitusi persamaan untuk mendapatkan nilai $a$, $b$, dan $c$

Mencari persamaan 1 berdasarkan titik $\left(3,11\right)$:

$ax^2+bx+c=y$

Substitusi $x=3$ dan $y=11$

$a\left(3\right)^2+3b+c=11$

$\Leftrightarrow9a+3b+c=11$ (Persamaan 1)

Mencari persamaan 2 berdasarkan titik $\left(1,-15\right)$:

$ax^2+bx+c=y$

Substitusi $x=1$ dan $y=-15$

$a+b+c=-15$ (Persamaan 2)

Mencari persamaan 3 berdasarkan titik $\left(-1,7\right)$:

$ax^2+bx+c=y$

Substitusi $x=-1$ dan $y=7$

$a\left(-1\right)^2+\left(-1\right)b+c=7$

$\Leftrightarrow a-b+c=7$

$\Leftrightarrow a=b-c+7$ (Persamaan 3)

Substitusi persamaan 3 ke persamaan 2

$a+b+c=-15$

$\Leftrightarrow\left(b-c+7\right)+b+c=-15$

$\Leftrightarrow2b=-15-7$

$\Leftrightarrow b=-\frac{22}{2}$

$\Leftrightarrow b=-11$

Substitusi b = -11 ke persamaan 3:

$a=\left(-11\right)-c+7$

$\Leftrightarrow a=-c-4$

Substitusi $a=-c-4$ dan $b=-11$ ke persamaan 1:

$9a+3b+c=11$

$\Leftrightarrow9\left(-c-4\right)+3\left(-11\right)+c=11$

$\Leftrightarrow-9c-36-33+c=11$

$\Leftrightarrow-8c-69=11$

$\Leftrightarrow c=\frac{11+69}{-8}$

$\Leftrightarrow c=-10$

$a$Sehingga: $a=-c-4=-\left(-10\right)-4=6$

Persamaan fungsi kuadrat:

$f\left(x\right)=6x^2-11x-10$

Nilai $f\left(6\right)$:

$f\left(6\right)=6\left(6\right)^2-11\left(6\right)-10$

$\Leftrightarrow f\left(6\right)=216-66-10$

$\Leftrightarrow f\left(6\right)=140$

Jadi, nilai $f\left(6\right)$ adalah 140.