Bank Soal Matematika SMA Integral Fungsi Aljabar

Untuk $f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1$ maka:

$\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$

Integral tersebut terdiri dari beberapa integral yang dijumlahkan, maka kita uraikan terlebih dahulu dengan menggunakan aturan Integral Penjumlahan dan Pengurangan, yaitu:

$\int\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx\pm\int g\left(x\right)dx$

Maka menjadi:

$\int\left(\frac{12}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x}-3\right)dx=\int\frac{12}{\sqrt{x}}dx-\int2\sqrt{x}dx-\int3dx$, ingat bahwa $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

$\int\frac{12}{x^{\frac{1}{2}}}dx-\int2\left(x^{\frac{1}{2}}\right)dx-\int3dx$

Ingat bahwa $\frac{1}{x^n}=x^{-n}$, sehingga menjadi:

$\int\frac{12}{x^{\frac{1}{2}}}dx-\int2\left(x^{\frac{1}{2}}\right)dx-\int3dx=\int12\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)dx-\int2\left(x^{\frac{1}{2}}\right)dx-\int3dx$

$=\frac{12}{-\frac{1}{2}+1}x^{-\frac{1}{2}+1}-\frac{2}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1}-\frac{3}{0+1}x^{0+1}+C$

$=\frac{12}{-\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}x^{-\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}-\frac{2}{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}x^{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}-\frac{3}{1}x^1+C$

$=\frac{12}{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}-\frac{2}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}}-3x+C$

$=24x^{\frac{1}{2}}-\frac{4}{3}\left(x^{\frac{2}{2}}\right)\left(x^{\frac{1}{2}}\right)-3x+C$

$=24\sqrt{x}-\frac{4}{3}x\sqrt{x}-3x+C$

Jadi, hasil integral fungsi tersebut adalah $24\sqrt{x}-\frac{4}{3}x\sqrt{x}-3x+C$