Bank Soal Matematika SMA Fungsi Trigonometri dan Bilangan Real

Diketahui:

$\tan\theta=-\frac{5}{12}$ dengan $\frac{1}{2}\pi<\theta<\pi$

Ditanya:

Nilai $\operatorname{sin}\theta$ ?

Jawab:

Perlu diingat identitas pada trigonometri berikut:

$\operatorname{cotan}\theta=\frac{1}{\tan\theta}$

Pada soal diketahui $\tan\theta=-\frac{5}{12}$, sehingga didapat

$\operatorname{cotan}\theta=\frac{1}{-\frac{5}{12}}$

$\operatorname{cotan}\theta=-\frac{12}{5}$

Selain itu identitas pada trigonometri yang perlu diingat adalah

$\operatorname{cotan}^2\theta+1=\operatorname{cosec}^2\theta$

Berdasarkan identitas trigonometri tersebut diperoleh

$\operatorname{cosec}^2\theta=\operatorname{cotan}^2\theta+1$

$\Leftrightarrow\operatorname{cosec}^2\theta=(-\frac{12}{5})^2+1$

$\Leftrightarrow\operatorname{cosec}^2\theta=\frac{144}{25}+1$

$\Leftrightarrow\operatorname{cosec}^2\theta=\frac{144}{25}+\frac{25}{25}$

$\Leftrightarrow\operatorname{cosec}^2\theta=\frac{169}{25}$

Perlu diingat pula pembagian kuadran berikut

Untuk sembarang sudut $\theta$ positif dihitung dari sumbu-$X$ positif dan bergerak berlawanan dengan jarum jam.

Pada soal diketahui $\tan\theta=-\frac{5}{12}$ dengan $\frac{1}{2}\pi<\theta<\pi$, artinya sudut $\theta$ tersebut berada pada kuadran II.

Nilai trigonometri ($\sin,\ \cos,$ atau $\tan$) yang bernilai positif pada keempat kuadran tersebut disajikan pada gambar berikut

Pada kuadran II $\sin\theta$ bernilai positif.

Kemudian perlu diingat juga identitas trigonometri berikut

$\operatorname{cosec}\theta=\frac{1}{\sin\theta}$

Artinya, paka kuadran II $\operatorname{cosec}\theta$ juga bernilai positif, sehingga didapat

$\operatorname{cosec}^2\theta=\frac{169}{25}$

$\Leftrightarrow\operatorname{cosec}\theta=\sqrt{\frac{169}{25}}$

$\Leftrightarrow\operatorname{cosec}\theta=\frac{13}{5}$

Berdasarkan identitas trigonometri, diperoleh

$\operatorname{cosec}\theta=\frac{1}{\sin\theta}$

$\Leftrightarrow\sin\theta=\frac{1}{\operatorname{cosec}\theta}$

$\Leftrightarrow\sin\theta=\frac{1}{\frac{13}{5}}$

$\Leftrightarrow\sin\theta=\frac{5}{13}$