Bank Soal Matematika SMA Aturan Perkalian dan Penjumlahan

Soal

Pilgan

Pembahasan

Banyaknya bilangan 4-digit yang semua digitnya merupakan bilangan ganjil atau kelipatan 2.020 adalah ....

E

120

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, dapat digunakan aturan perkalian dan aturan penjumlahan.

Aturan perkalian disebut juga aturan pengisian tempat (filling slot). Misalkan terdapat r tempat tersedia dengan ketentuan:

a. Terdapat $n_1$ cara mengisi tempat pertama,

b. Terdapat $n_2$ cara untuk mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi,

c. Terdapat $n_3$ cara untuk mengisi tempat ketiga setelah tempat kedua terisi,

begitu seterusnya hingga terdapat $n_r$ cara untuk mengisi tempat ke-r setelah tempat pertama, kedua, ..., ke-(r-1) terisi. Banyaknya cara mengisi r tempat tersebut adalah

$n_1\times n_2\times\ldots n_{r-1}\times n_r$

Berikut adalah gambaran mengenai aturan penjumlahan.

Misalkan suatu peristiwa terdiri dari $n$ tahap yang saling lepas dengan:

a. kejadian pertama dapat dilakukan dengan $r_1$ cara yang berbeda,

b. kejadian kedua dapat dilakukan dengan $r_2$ cara yang berbeda,

dan seterusnya hingga peristiwa ke- $n$ yang dapat dilakukan dengan $r_n$ cara berbeda.

Banyaknya kejadian tersebut adalah $r_{1\ }+r_{2\ }+\ldots+r_n$ cara yang berbeda.

Perhatikan bahwa digit yang merupakan bilangan ganjil adalah 1, 3, 5, 7, dan 9 yaitu ada sebanyak 5.

Karena yang diminta adalah bilangan 4-digit dan tidak mensyaratkan digitnya tidak boleh berulang, maka dalam hal ini kita asumsikan digit-digitnya boleh berulang.

Kejadian pertama, yaitu digit-digitnya merupakan bilangan ganjil. Banyaknya cara mengisi tempat ribuan ada 5, yaitu 1, 3, 5, 7, atau, 9. Selanjutnya, banyaknya cara mengisi tempat ratusan ada 5 sebab digitnya-digitnya boleh berulang. Begitu pula banyaknya cara untuk mengisi tempat puluhan dan satuan juga ada 5 sebab digit-digitnya boleh berulang.

Sehingga menurut aturan perkalian banyaknya bilangan 4-digit yang digit-digitnya merupakan bilangan ganjil adalah $5\ \times5\ \times5\ \times5\ =\ 625$ bilangan.

Kejadian kedua, yaitu bilangan yang merupakan kelipatan 2.020. Banyaknya bilangan 4-digit yang merupakan kelipatan 2.020 adalah 4 yaitu 2.020, 4.040, 6.060, 8.080.

Karena kejadian pertama dan kejadian kedua saling lepas, maka menurut aturan penjumlahan banyaknya bilangan 4-digit yang semua digitnya merupakan bilangan ganjil atau kelipatan 2.020 adalah $625+4=629$ bilangan.